Метод предиктор-коректор

Методи предиктор-коректор у чисельному аналізі належать до класу алгоритмів, призначених для інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. Усі такі алгоритми виконуються у два кроки:

1. Крок передбачення («предиктор») починає з функції, підібраної до значень функції та її похідних в попередньо обчислених точках для передбачення (екстраполяції) значення цієї функції в наступній точці.
2. Наступний крок корекції («коректор»), уточнює початкове наближення, використовуючи передбачуване значення функції та інший метод інтерполяції значення цієї невідомої функції в тій самій наступній точці.

Методи предиктор-коректор для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

Під час чисельного розв'язання звичайних диференціальних рівнянь метод предиктор-коректор зазвичай використовує явний метод для кроку предиктора та неявний метод для кроку коректора.

Приклад: метод Ейлера з правилом трапецій

Простий метод предиктор-коректор (відомий як метод Гойна^[en]) можна побудувати на основі методу Ейлера (явний метод) та методу трапецій^[en] (неявний метод).

Розгляньмо диференціальне рівняння

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},}$

і позначимо розмір кроку як ${\displaystyle h}$.

Спочатку виконують крок прогнозування: починаючи з поточного значення ${\displaystyle y_{i}}$, обчислити початкове припущене значення ${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}}$ за допомогою методу Ейлера,

${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}).}$

Далі слідує крок корекції: початкове припущення покращують за допомогою правила трапецій,

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.}$

Це значення використовують як наступний крок.

Режими PEC та PECE

Існують різні варіанти методу прогнозування-корекції, залежно від того, як часто застосовується метод корекції. Режим передбачення-розрахунку-корекції-розрахунку (англ. Predict–Evaluate–Correct–Evaluate, PECE) стосується варіанту у наведеному вище прикладі:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

Також можливо обчислювати функцію f лише один раз на крок, використовуючи метод у режимі передбачення-розрахунку-корекції (англ. Predict–Evaluate–Correct, PEC):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

Крім того, крок коректора можна повторити в надії, що це досягне ще кращого наближення до істинного розв'язку. Якщо метод коректора виконати двічі, це призведе до режиму PECECE:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )},\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

Режим PECEC має на одну оцінку функції менше, ніж режим PECECE.

У загальнішому випадку, якщо коректор виконують k разів, метод знаходиться в режимі P(EC)^k або P(EC)^kE. Якщо метод коректора повторюють до збіжності, це можна назвати PE(CE)^∞[1].