Метод трапецій (математика)

В математиці, метод трапецій є методом наближеного обчислення значення визначеного інтегралу

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Функція f(x) (синій колір) апроксимується лінійною функцією (червоний колір).

Ідея методу трапецій полягає в наближенні області під графіком функції ${\displaystyle f(x)}$ трапецією та обчисленні її площі^[1]. Якщо застосувати цю ідею безпосередньо до інтервалу ${\displaystyle [a,b]}$, то отримаємо

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {f(a)+f(b)}{2}}(b-a),\quad (*)}$

але це незадовільно через велику похибку.

Сума трапецій для x ↦ x³, 4 трапеції на [0, 2].

Для точнішого обчислення значення інтегралу, слід попередньо розбити інтервал інтегрування ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle n}$ підінтервалів ${\displaystyle [a,x_{1}],[x_{1},x_{2}],\ldots ,[x_{n-1},b],}$ та застосувати формулу (*) до кожного із них. Таким чином, отримуємо:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i-1})}{2}}\Delta x_{i},}$

де ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},x_{0}=a,x_{n}=b.}$

Послідовне застосування методу трапецій.

У методі трапецій переважно застосовується розбиття інтервалу інтегрування на ${\displaystyle n}$ рівних відрізків довжиною ${\displaystyle h=\Delta x=(b-a)/n.}$ Тоді попередня формула перетворюється на таку:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right)h,}$

і похибка, так званий залишковий член ${\displaystyle E(f)}$ не перевищує ${\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}M}{12n^{2}}},}$ де ${\displaystyle M=\operatorname {max} \{|f''(x)|:x\in [a,b]\}}$ — це максимум другої похідної функції ${\displaystyle f(x)}$ на всьому інтервалі^{[джерело?]}. Відзначимо, що за збільшення числа ${\displaystyle n}$ інтервалів розбиття, залишковий член зменшується як ${\displaystyle O(1/n^{2}).}$

Див. також