Метрика простору-часу

Ця стаття про метрику в загальній теорії відносності. Про поняття метрики взагалі див. метричний тензор.

Ме́трика про́стору-ча́су — 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальній теорії відносності.

Схематичне двовимірне зображення викривлення простору-часу біля масивного тіла

Опис поняття

Просторово-часовий інтервал виражається через метрику простору-часу формулою

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}\,}$.

де ${\displaystyle g_{ij}}$ — метричний тензор.

В інерційній системі відліку матриця метричного тензора простору-часу має вигляд

${\displaystyle {\hat {g}}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)}$.

В неінерційних системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і загалом залежить від точки простору і моменту часу.

Метрика простору-часу задає викривлення простору, яке відчуває спостерігач, що рухається з прискоренням. Оскільки за принципом еквівалентності спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерційність зв'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в полі масивних тіл.

Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними і контраваріантними записами будь-якого 4-вектора

${\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j}\,}$.

Властивості

Метричний тензор симетричний відносно своїх індексів, тобто ${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}}$. Це видно із загальної формули для квадрата диференціалу просторово-часового інтрервалу. Детермінант метрики простору часу, який позначається g, від'ємний.

Контраваріантна форма метричного тензора зв'язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора четвертого порядку

${\displaystyle E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}\,}$,

де ${\displaystyle e^{ijkl}}$ — звичайний повністю антисиметричний тензор, визначений в інерційній системі відліку, тобто тензор, компоненти якого дорівнюють 1 або −1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів.

Таким чином

${\displaystyle g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}\,}$

Метричний тензор, як будь-який симетричний тензор, можна вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Проте ця операція справедлива лише в певній точці простору-часу, і, в загальному випадку, не може буде проведена для всього простору-часу.

Власний час

Квадрат диференціалу просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює

${\displaystyle ds^{2}=g_{00}(dx^{0})^{2}=c^{2}d\tau ^{2}\;}$,

де c — швидкість світла.

Величину

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {g_{00}}}dx^{0}}$

називають власним часом для світової лінії.

Просторовий інтервал

Квадрат віддалі між двома нескінченно близькими точками задається формулою

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=\left(-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{\alpha 0}g_{0\beta }}{g_{00}}}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }}$

Грецькі індекси використовуються тоді, коли підсумовування ведеться лише по просторових координатах. Тензор ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ є метричним тензором для тривимірного простору.

Інтегрувати визначену таким чином віддаль не можна, оскільки результат залежав би від світової лінії, по якій велося б інтегрування. Таким чином, у загальній теорії відносності поняття віддалі між далекими об'єктами в тривимірному просторі втрачає сенс. Єдиний виняток — ситуація, в якій метричний тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ не залежить від часу.

Джерела

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука.