Міжквартильний розмах

Міжквартильний або інтерквартильний розмах (англ. interquartile range, ${\displaystyle IQR}$) — робастна міра розсіяння, що розраховується на основі процентилів.  Поряд з розмахом та медіаною абсолютних відхилень належить до порядкових статистик, бо спирається на сортування (ранжування) даних.

Визначення

Найпростішою мірою розсіяння із порядкових статистик є розмах — різниця між найбільшим та найменшим значенням із вибірки^[1]. Однак розмах дуже чутливий до викидів і тому є не дуже корисною мірою розсіяння.

Щоб запобігти чутливості до викидів, можна вдатися до відкидання з обох боків крайніх значень вибірки після їхнього розташування у варіаційний ряд шляхом перестановки даних таким чином, щоб кожне наступне значення було не меншим за попереднє. Міжквартильний розмах ${\displaystyle IQR}$ — це різниця між 75-м ${\displaystyle x_{75}}$ та 25-м ${\displaystyle x_{25}}$процентилями^[2]:

${\displaystyle IQR=x_{75}-x_{25}}$.

75-й та 25-й процентилі — це такі значення варіаційного ряду, що 75 та 25 відсотків (процентів) значень варіаційного ряду відповідно приймають значення рівні чи менші за ці значення.

75-й і 25-й процентилі називають ще третім та першим квартилем, тобто міжквартильний розмах — різниця між третім та першим квартилем. Звідси походить термін «міжквартильний».

Приклад

Нехай є вибірка значень 3, 1, 5, 3, 6, 7, 2, 9, варіаційний ряд для якої має вигляд: 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 9. Оскільки числа 1 та 2 складають 25 % від варіаційного ряду, числа 1, 2, 3, 3, 5 та 6 складають 75 % значень варіаційного ряду, то 75-й процентиль для цього ряду має значення 6, 25-й процентиль — 2. Тоді ${\displaystyle IQR}$ = 6 — 2 = 4.

Переваги та недоліки

На відміну від розмаху міжквартильний розмах нечутливий до викидів і може використовуватися для розподілів, для яких не існує математичного сподівання і дисперсії. Недоліком цієї міри розсіяння є те, що вона дещо важча для розуміння, ніж розмах. Крім того, міжквартильний розмах незручний для математичних перетворень та для великих вибірок через необхідність ранжування даних вимагає великих затрат обчислювальних ресурсів.

Див. також

• Портал «Математика»

• Вибірка
• Міри розсіяння
• Розмах

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)