Нелінійне рівняння Шредінгера

Нелінійне або кубічне рівняння Шредінгера (НРШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) — нелінійне рівняння в частинних похідних другого порядку, що грає важливу роль в теорії нелінійних хвиль, зокрема, в нелінійній оптиці і фізиці плазми. Є узагальненням лінійного параболічного рівняння, відомого в квантовій механіці як рівняння Шредінгера

Рівняння має вигляд:

${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2\kappa |u|^{2}u}$

де ${\displaystyle u(x,t)}$ — комплекснозначна функція.

Значення у фізиці

Будучи нелінійним узагальненням параболічного рівняння, нелінійне рівняння Шредінгера описує динаміку хвильових пакетів в середовищах з дисперсією і кубічною нелінійністю. Подібна ситуація зустрічається, наприклад, при поширенні електромагнітних хвиль в плазмі: з одного боку плазма є диспергуючої середовищем, з іншого боку, при досить високих амплітудах хвилі проявляється пондеромоторна нелінійність, яка в деяких випадках може бути апроксимована кубічним членом. Іншим прикладом є поширення світла в нелінійних кристалах з дисперсією: у багатьох випадках квадратична нелінійність мала або тотожно дорівнює нулю в силу центральної симетрії кристалічної решітки, тому враховується тільки кубічний член.

Розв'язки

Для нелінійного рівняння Шредінгера знайдено велику кількість точних розв'язків, що представляють собою стаціонарні нелінійні хвилі. Зокрема, розв'язком є функції вигляду:

${\displaystyle u(x,t)=\exp \left\{irx-ist\right\}v(x-Ut)}$

де r, s, U — сталі, що пов'язані співвідношеннями:

${\displaystyle r={\frac {U}{2}}\qquad s={\frac {U^{2}}{4}}-\alpha }$

а функція v(q) задовільняє звичайному диференційному рівнянню вигляду:

${\displaystyle {\frac {d^{2}v}{dq^{2}}}-\alpha v+\nu v^{3}=0}$

Періодичні розв'язки мають форму кноїдальних хвиль. Крім того, є локалізований розв'язок солітонного типу:

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {2\alpha /\nu }}{\cosh ^{2}\left[{\sqrt {\alpha }}\left(x-Ut\right)\right]}}}$

Джерела

• Физическая энциклопедия. Т.2. Гл.ред. А.М.Прохорова. М. Сов.энциклопедия. 1988.- 705с.
• Линейные и нелинейные волны. Дж. Уизем — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.