Нерівність Чебишова

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової величини із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання. Нерівність Чебишева дає кількісні характеристики цієї властивості.

Для нерівності для наборів чисел — див. Нерівність Чебишова для сум чисел.

Теорема

Нехай ${\displaystyle X}$ є випадковою величиною із математичним сподіванням ${\displaystyle \eta }$ і дисперсією ${\displaystyle {\sigma }^{2}}$. Тоді для всякого ${\displaystyle \epsilon >0}$ виконується нерівність:

${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}\leq {\frac {{\sigma }^{2}}{{\epsilon }^{2}}}}$

інакше

${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq k\sigma \}\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

Нам цікавий лише випадок з ${\displaystyle k>1.}$ Коли ${\displaystyle k\leq 1}$ права частина ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}\geq 1}$ і нерівність стає тривіальною, бо ймовірність не перевищує 1.

Наприклад, використовуючи ${\displaystyle k={\sqrt {2}}}$ показуємо, що ймовірність того., що значення лежить поза проміжком ${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$ не перевищує ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

Тому що нерівність можна застосувати до будь-яких розподілів якщо вони мають відоме середнє значення і дисперсію, нерівність зазвичай дає слабку оцінку в порівнянні з ситуацією коли відомо більше даних про розподіл.

${\displaystyle k}$	Мін. % в ${\displaystyle k}$ стандартних    відхилень від середнього	Макс. % поза ${\displaystyle k}$ стандартних    відхилень від середнього
1	0%	100%
√2	50%	50%
1.5	55.56%	44.44%
2	75%	25%
3	88.8889%	11.1111%
4	93.75%	6.25%
5	96%	4%
6	97.2222%	2.7778%
7	97.9592%	2.0408%
8	98.4375%	1.5625%
9	98.7654%	1.2346%
10	99%	1%

Приклад

Припустімо, що ми навмання обираємо часописну статтю зі джерела з 1000 слів на статтю в середньому, зі стандартним відхиленням у 200 слів. Ми можемо зробити висновок, що ймовірність того, що стаття містить від 600 до 1400 слів (тобто в межах k = 2 стандартних відхилень від середнього) має бути щонайменше 75%, бо згідно з нерівністю Чебишова шанс опинитись за межами цього діапазону не більший ніж 1⁄k²
= 1/4}}. Але, якби ми додатково знали, що ми маємо справу з нормальним розподілом, ми могли б сказати, що існує 75% шанс того, що кількість слів між 770 і 1230 (точніше обмеження).

Точність оцінки

Як показано вище, нерівність зазвичай надає радше слабку оцінку. Однак, для довільного розподілу її неможливо покращити. Це точна оцінка для такого розподілу: для будь-якого k ≥ 1,

${\displaystyle X={\begin{cases}-1,&{\text{з імовірністю }}{\frac {1}{2k^{2}}}\\0,&{\text{з імовірністю }}1-{\frac {1}{k^{2}}}\\1,&{\text{з імовірністю }}{\frac {1}{2k^{2}}}\end{cases}}}$

Для цього прикладу, середнє значення μ = 0 і стандартне відхилення σ = 1/k, отже

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr(|X|\geq 1)={\frac {1}{k^{2}}}.}$

саме для розподілів, які є лінійними перетвореннями цього прикладу, нерівність Чебишева стає рівністю.

Доведення

Нехай ${\displaystyle F(x)}$  - функція розподілу змінної ${\displaystyle X}$. Тоді:

${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}=\int _{-\infty }^{-\eta -\epsilon }\,dF(x)+\int _{\eta +\epsilon }^{\infty }\,dF(x)=\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }\,dF(x)}$

Звідси одержуємо,

${\displaystyle {\sigma }^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\eta )^{2}\,dF(x)\geq \int _{|x-\eta |\geq \epsilon }(x-\eta )^{2}\,dF(x)\geq {\epsilon }^{2}\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }\,dF(x)}$

З того, що ${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}=\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }\,dF(x)}$ одержуємо твердження теореми.

Див. також

• Нерівність Маркова
• Нерівність Ляпунова
• Чебишов Пафнутій Львович

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)