Нескінченновимірний простір

Нескінченновимірний простір — векторний простір із нескінченно великою розмірністю. Вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень є головним завданням функціонального аналізу. Найпростішими нескінченновимірними просторами є гільбертові простори, найближчі за властивостями до скінченновимірних евклідових просторів^[1].

Нескінченновимірний простір
Названо на честь	Georg Hameld
Досліджується в	лінійна алгебра
Invariant under	лінійний ізоморфізмd
Є кількістю	базисний вектор[d]
Нескінченновимірний простір у Вікісховищі

Визначення

Лінійний векторний простір називають нескінченновимірним, якщо для будь-якого цілого числа ${\displaystyle N>0}$ у ньому знайдеться лінійно незалежна система, що складається з ${\displaystyle N}$ векторів^[2][3].

Базис

Для нескінченновимірного простору існують різні визначення базису. Так, наприклад, базис Гамеля визначають як множину векторів у лінійному просторі, таких, що будь-який вектор простору можна подати у вигляді деякої їх скінченної лінійної комбінації єдиним чином.

Для топологічних векторних просторів можна визначити базис Шаудера. Система елементів ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ утворює базис Шаудера простору ${\displaystyle E}$, якщо кожен елемент ${\displaystyle x\in E}$ можна подати єдиним чином у вигляді збіжного ряду ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}}$^[4]. Базис Шаудера існує не завжди.

Приклади

• Лінійний простір неперервних на даному проміжку функцій^[2].
• Гільбертів простір, утворений нескінченною послідовністю чисел ${\displaystyle x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)}$ зі збіжною сумою квадратів ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty }$^[5].
• Множина всіх многочленів^[6].
• Фазовий простір у статистичній фізиці є майже нескінченновимірним.^[7]
• Простір квадратично-сумованих послідовностей^[ru]

Властивості

• Нескінченновимірний простір не ізоморфний ніякому скінченновимірному^[8].

Див. також

• Скінченновимірний простір