Нормалізатор

В абстрактній алгебрі нормалізатором підмножини ${\displaystyle U}$ групи ${\displaystyle G}$ називається множина елементів ${\displaystyle G}$, які комутують загалом із підмножиною ${\displaystyle U}$, але не обов'язково з кожним її елементом, як у випадку централізатора. Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.

Означення

Групи і напівгрупи

Нормалізатором підмножини ${\displaystyle U}$ в групі (або напівгрупі) ${\displaystyle G}$ за означенням називається підмножина

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(U)=\{g\in G\mid gU=Ug\}}$

Означення відрізняється від означення централізатора тим, що в даному випадку не повинно обов'язково бути ${\displaystyle gu=ug,\;\forall u\in U}$, але для кожного ${\displaystyle u\in U}$ має існувати такий ${\displaystyle v\in U}$, що ${\displaystyle gu=vg}$.

Нормалізатор підмножини ${\displaystyle U}$ алгебри Лі (або кільця Лі) ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ задається рівністю ^[1]

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(U)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,u]\in U}$ для всіх ${\displaystyle u\in U\}}$

Хоч це означення є стандартним для терміна «нормалізатор» в алгебрі Лі, слід зауважити, що ця конструкція є фактично ідеалізатором множини ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$.

Властивості

Групи ^[2]

• Нормалізатор довільної множини ${\displaystyle U}$ є підгрупою ${\displaystyle G}$.
• Централізатор ${\displaystyle Z_{G}(U)}$ завжди є нормальною підгрупою нормалізатора ${\displaystyle N_{G}(U)}$.
• Якщо ${\displaystyle U}$ є піднапівгрупою у ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle N_{G}(U)}$ містить ${\displaystyle U}$.
• Якщо ${\displaystyle H}$ є підгрупою ${\displaystyle G}$, то найбільша підгрупа, в якій ${\displaystyle H}$ є нормальною, це ${\displaystyle N_{G}(H)}$.
• Індекс нормалізатора ${\displaystyle N_{G}(U)}$ є рівним кількості класів спряженості ${\displaystyle gUg^{-1}}$ для множини ${\displaystyle U}$, тобто ${\displaystyle |\{gUg^{-1}\mid g\in G\}|=[G:N_{G}(U)]}$.
• Якщо задати гомоморфізм груп ${\displaystyle T:G\to \operatorname {Inn} (G)}$, як ${\displaystyle T(x)(G)=T_{x}(G)=xgx^{-1}}$, то можна описати ${\displaystyle N_{G}(U)}$ в термінах дії групи ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ на ${\displaystyle G}$: стабілізатором ${\displaystyle U}$ у (${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$) є ${\displaystyle T(N_{G}(U))}$.

Кільця і алгебри Лі ^[1]

• Якщо ${\displaystyle U}$ — адитивна підгрупа ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$, то ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(U)}$ є найбільшим підкільцем Лі (або підалгеброю Лі), в якій ${\displaystyle U}$ є ідеалом Лі. ^[1]
• Якщо ${\displaystyle U}$ — підкільце Лі кільця Лі ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle U\subseteq \mathrm {N} _{A}(U)}$.