Нуль у нульовому степені

Вираз ${\displaystyle 0^{0}}$ (нуль в нульовому степені) багато підручників вважають невизначеним і позбавленим сенсу^[1]. Пов'язано це з тим, що функція двох змінних ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ в точці ${\displaystyle (0,0)}$ має неусувний розрив. Справді, уздовж додатного напрямку осі ${\displaystyle X,}$ де ${\displaystyle y=0,}$ вона дорівнює одиниці, а вздовж додатного напрямку осі ${\displaystyle Y,}$ де ${\displaystyle x=0,}$ вона дорівнює нулю. Тому ніяка домовленість про значення ${\displaystyle 0^{0}}$ не може дати неперервну в нулі функцію.

Графік функції z = x^y поблизу x = 0, y = 0

Деякі автори пропонують домовитись про те, що цей вираз дорівнює 1. На користь такого варіанту наводяться кілька доводів. Наприклад, розклад у ряд експоненти:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

можна записати коротше, якщо прийняти ${\displaystyle 0^{0}=1}$ :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

(наша домовленість використовується при ${\displaystyle x=0,\ n=0}$).

Якщо 0 відносити до натуральних чисел, то піднесення до натурального степеня можна визначити так:

${\displaystyle a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},}$

і тоді піднесення будь-якого числа (зокрема й нуля) до нульового степеня даватиме 1.

Інше обґрунтування домовленості ${\displaystyle 0^{0}=1}$ спирається на «Теорію множин» Бурбакі^[2]: число різних відображень n -елементної множини в m-елементну дорівнює ${\displaystyle m^{n},}$ при ${\displaystyle m=n=0}$ отримуємо відображення порожньої множини в порожню, а воно єдине. Зрозуміло, це не можна вважати доведенням (домовленості не потребують доведень), тим більше що в самій теорії множин домовленість ${\displaystyle 0^{0}=1}$ не використовується.

В будь-якому випадку домовленість ${\displaystyle 0^{0}=1}$ чисто символічна, і вона не може використовуватися ні в алгебраїчних, ні в аналітичних перетвореннях через розривність функції в цій точці. Приклад для аналітичних обчислень: вираз ${\displaystyle (a^{-1/t})^{t},}$ де ${\displaystyle a}$ — довільне додатне дійсне число. При ${\displaystyle t\to 0}$ ми отримуємо невизначеність типу ${\displaystyle 0^{0},}$ і, якщо не відрізняти граничну форму ${\displaystyle 0^{0}}$ (де кожен з нулів позначає прямування до нуля) і значення ${\displaystyle 0^{0}}$ (де кожен з нулів і є нуль), можна помилково порахувати, що границя дорівнює 1. Насправді цей вираз тотожно дорівнює ${\displaystyle a^{-1}.}$ Це означає, що нескінченно мала в нескінченно малому степені може в границі дати будь-яке значення, не обов'язково одиницю. Подібних помилок можна припуститися, якщо використовувати домовленість в алгебричних перетвореннях.

Історія різних точок зору

Дискусія з приводу визначення ${\displaystyle 0^{0}}$ триває, принаймні, з початку XIX століття. Багато математиків тоді приймали цю угоду, але в 1821 році Коші^[3] відніс ${\displaystyle 0^{0}}$ до невизначеностей, таких, як ${\displaystyle {\frac {0}{0}}.}$ У 1830-х роках Лібрі^[en][4][5] опублікував непереконливий аргумент на користь ${\displaystyle 0^{0}=1}$ (див. Функція Гевісайда § Історія), і Мебіус^[6] став на його сторону, помилково заявивши, що ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1}$ щоразу, коли ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0}$. Оглядач, який підписався просто як «S», надав контрприклад ${\displaystyle (e^{-1/t})^{t}}$, і це трохи заспокоїло дебати. Більше історичних деталей можна знайти в книзі Кнута (1992)^[7] .

Пізніші автори інтерпретують описану вище ситуацію по-різному. Деякі стверджують, що оптимальне значення для ${\displaystyle 0^{0}}$ залежить від контексту, і тому визначити його раз і назавжди проблематично^[8]. Згідно з Бенсоном (1999), «вибір, чи слід визначати ${\displaystyle 0^{0},}$ ґрунтується на зручності, а не на правильності. Якщо ми утримаємося від визначення ${\displaystyle 0^{0}}$, то деякі твердження стають надмірно незручними. <…> Консенсус полягає у використанні визначення ${\displaystyle 0^{0}=1}$, хоча є підручники, які утримуються від визначення ${\displaystyle 0^{0}}$»^[9].

Частина математиків вважає, що ${\displaystyle 0^{0}}$ має бути визначено як 1. Наприклад, Кнут (1992) впевнено стверджує, що ${\displaystyle 0^{0}}$ «має бути 1», розрізняючи значення ${\displaystyle 0^{0}}$, яке має дорівнювати 1, як це було запропоновано Лібрі, і граничну форму ${\displaystyle 0^{0}}$ (абревіатура для границі ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ де ${\displaystyle f(x),g(x)\to 0}$), яка обов'язково є невизначеністю, як зазначено Коші: «І Коші, й Лібрі мали рацію, але Лібрі та його захисники не розуміли, чому істина на їхньому боці»^[7].

Авторитетний сайт MathWorld, навівши думку Кнута, все ж констатує, що зазвичай значення ${\displaystyle 0^{0}}$ вважається невизначеним, незважаючи на те, що домовленість ${\displaystyle 0^{0}=1}$ дозволяє в деяких випадках спростити запис формул^[10]. Велика радянська енциклопедія та деякі інші джерела характеризують ${\displaystyle 0^{0}}$ як вираз, що не має сенсу (невизначеність).

Розкриття невизначеності 00

Див. також: Розкриття невизначеностей

Якщо дано дві функції ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$, які прямують до нуля, то границя ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ в загальному випадку може бути будь-якою, таким чином, з цієї точки зору ${\displaystyle 0^{0}}$ є невизначеністю. Для знаходження границі ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ в цьому випадку користуються методами розкриття невизначеності, як правило спочатку взявши логарифм від цього виразу: ${\displaystyle \ln \left(f(x)^{g(x)}\right)=\ln {\big (}f(x){\big )}g(x)}$, а потім скориставшись правилом Лопіталя.

Однак, за певних умов ця границя буде завжди дорівнювати одиниці. А саме: якщо функції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ є аналітичними в точці ${\displaystyle 0}$ (тобто в деякому околі точки ${\displaystyle 0}$ збігаються зі своїм рядом Тейлора), і ${\displaystyle f(0)=g(0)=0}$, а ${\displaystyle f(x)>0}$ в околі ${\displaystyle (0,\delta )}$, то границя ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ при ${\displaystyle x}$ яке прямує до нуля справа дорівнює 1^[11][12][13].

Наприклад, таким чином можна відразу переконатися, що

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operatorname {tg} x}=1,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-x\right)^{x}=1.}$

При цьому треба не забувати, що якщо хоча б одна з функцій не розкладається в ряд Тейлора в точці 0, то границя може бути будь-якою, або її може не існувати. Наприклад,

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1}.}$

У комп'ютерах

Стандарт IEEE 754-2008, що описує формат подання чисел з рухомою комою, визначає три функції піднесення до степеня^[14]:

• Функція для піднесення до цілого степеня: ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,y)}$ . Відповідно до стандарту, ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,0)=1}$ для будь-якого ${\displaystyle x}$, зокрема, коли ${\displaystyle x}$ дорівнює нулю, NaN або нескінченності.
• Функція для піднесення до довільного степеня: ${\displaystyle \operatorname {powr} (x,y)}$ — по суті рівна ${\displaystyle \exp {\big (}y\log(x){\big )}}$. Відповідно до стандарту, ${\displaystyle \operatorname {powr} (\pm 0,\pm 0)}$ повертає значення «не число» NaN.
• Функція для піднесення до довільного степеня, яка особливо визначена для цілих чисел: ${\displaystyle \operatorname {pow} (x,y)}$. Відповідно до стандарту, ${\displaystyle \operatorname {pow} (x,\pm 0)=1}$ для всіх ${\displaystyle x}$ (так само як і ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,0)}$).

У багатьох мовах програмування нуль в нульовому степені дорівнює 1. Наприклад, в C++: pow(0, 0) == 1, у мові Haskell це правильно для всіх трьох стандартних операцій піднесення до степеня: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1.

Література

• Степенная функция // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)