Одна сьома площі трикутника

У евклідовій геометрії трикутник ABC містить трикутник, площа якого становить одну сьому площі ABC, який можна побудувати так: сторони цього трикутника лежать на променях p, q, r, де

• p з'єднує A з точкою на BC, віддаленою від B на третину відстані від B до C,
• q з'єднує B з точкою на CA, віддаленою від C на третину відстані від C до A,
• r з'єднує C з точкою на AB, віддаленою від A на третину відстані від A до B.

Площа рожевого трикутника становить одну сьому площі великого трикутника ABC.

Доведення рівності площі одній сьомій площі початкового трикутника випливає з побудови шести паралельних прямих:

• дві паралельні p, одна через C, інша через q.r
• дві паралельні q, одна через A, інша через r.p
• дві паралельні r, одна через B, інша через p.q.

Гуго Штейнгауз запропонував відбити (центральний) трикутник зі сторонами на p, q, r відносно його сторін і вершин.^[1] Ці шість додаткових трикутників частково покривають ABC і залишають шість трикутників, що «звисають» за межі ABC. Зважаючи на паралельність під час побудови (як показав Мартін Гарднер у он-лайн журналі Джеймса Ренді), очевидні парні збіги «звисаючих» та відсутніх частин АВС. Як видно з графічного розв'язку, шість відбитих трикутників разом з оригіналом дорівнюють цілому трикутнику ABC.^[2]

Збіг довжин сторін дозволяє обертати вибрані трикутники, утворюючи три паралелограми рівної площі, які діляться навпіл на шість трикутників однакового розміру з початковим внутрішнім трикутником.

1859 року цю геометричну побудову та обчислення площі навів у своєму підручнику з евклідової геометрії Роберт Поттс.^[3]

За словами Кука та Вуда (2004), цей трикутник спантеличив Річарда Фейнмана під час обідньої розмови; вони надають чотири різні доведення.^[4]

Загальніший результат відомий як теорема Рауса.