Одностороння границя

Одностороння границя в математичному аналізі — границя функції дійсної змінної, яка передбачає прямування до граничної точки тільки з одного боку — зліва або справа. Такі границі називають відповідно лівосторонньою границею (або лівою границею) та правосторонньою границею (або правою границею).

Функція ${\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} x}$ має лівосторонню границю ${\displaystyle -1,}$ правосторонню границю ${\displaystyle +1,}$ і значення функції, рівне ${\displaystyle 0}$, у точці ${\displaystyle x=0.}$

Означення

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, причому ${\displaystyle A\neq \emptyset }$, і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. У подальшому будемо розглядати функції ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$.

Означення за Коші

Означення правосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ така гранична точка множини ${\displaystyle A}$, що існує ${\displaystyle \gamma >0}$ таке, що ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A}$. Число ${\displaystyle a}$ називається правосторонньою границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільного додатного ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатне число ${\displaystyle \delta }$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta )}$ виконується ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }$.^[1][2]

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x),}$^[1]${\displaystyle \ \ \lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x),}$^[3]${\displaystyle \ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\searrow x_{0}}f(x);}$

Означення лівосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ така гранична точка множини ${\displaystyle A}$, що існує ${\displaystyle \gamma >0}$ таке, що ${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A}$. Число ${\displaystyle a}$ називається лівосторонньою границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільного додатного ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатне число ${\displaystyle \delta }$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})}$ виконується ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }$.^[1][4]

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x),}$^[1]${\displaystyle \ \ \lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x),}$^[3]${\displaystyle \ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow x_{0}}f(x).}$

Використовуються також наступні скорочення:

• ${\displaystyle f\left(x_{0}+\right)}$^[1] і ${\displaystyle f\left(x_{0}+0\right)}$^[5] для правої границі;
• ${\displaystyle f\left(x_{0}-\right)}$^[1] і ${\displaystyle f\left(x_{0}-0\right)}$^[6] для лівої границі.

Означення за Гейне

Означення правосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ така гранична точка множини ${\displaystyle A}$, що існує ${\displaystyle \gamma >0}$ таке, що ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A}$. Число ${\displaystyle p}$ називається правосторонньою границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A}$, ${\displaystyle a_{n}>x_{0}}$ при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, що збігається до числа ${\displaystyle x_{0}}$, відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle p}$.^[3]

Означення лівосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ така гранична точка множини ${\displaystyle A}$, що існує ${\displaystyle \gamma >0}$ таке, що ${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A}$. Число ${\displaystyle p}$ називається правосторонньою границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A}$, ${\displaystyle a_{n}<x_{0}}$ при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, що збігається до числа ${\displaystyle x_{0}}$, відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle p}$.^[3]

Якщо обидві односторонні границі існують в точці ${\displaystyle x_{0}}$ та рівні в ній, то можна показати, що ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)}$. Якщо односторонні границі існують в точці ${\displaystyle x_{0}}$, але не рівні, то границі в точці ${\displaystyle x_{0}}$ не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.^[7][5]

Приклади

Приклад 1: Лівою та правою границями функції ${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{x}}}$ при ${\displaystyle x\to 0}$ є

${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty }$ та ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty .}$

Причина, чому ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty }$, в тому, що ${\displaystyle x}$ від'ємний при ${\displaystyle x\to 0-}$, що в цьому випадку означає, що ${\displaystyle -1/x}$ додатня, тому ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}}$ розходиться до ${\displaystyle +\infty }$.

Аналогічно, ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty }$, бо ${\displaystyle x}$ додатній при ${\displaystyle x\to 0+}$, що в цьому випадку означає, що ${\displaystyle -1/x}$ від'ємна, тому ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}}$ розходиться до ${\displaystyle -\infty .}$

Графік функції ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).}$

Приклад 2: Одним із прикладів функцій з різними односторонніми границями є ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}$ для якої ліва границя дорівнює ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)=0}$, а права границя — ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}f(x)=1.}$

Використовуючи попередній приклад, отримуємо:

${\displaystyle \lim _{x\to 0-}2^{-1/x}=+\infty }$ та ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}2^{-1/x}=0.}$

Тому

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1,}$

а ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}$, бо знаменник прямує до нескінченності, тобто ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}(1+2^{-1/x})=+\infty .}$

Отже, ${\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)\neq \lim _{x\to 0+}f(x),}$ а границі ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$ не існує.

Див. також

• Границя функції в точці
• Напівнеперервна функція