Ознака стиснення Коші

Ознака стиснення Коші — названа на честь Огюстена-Луї Коші, є однією з ознак збіжності для нескінченних рядів.

Для незростаючої послідовності ${\displaystyle f(n)}$ невід'ємних дійсних чисел, ряд ${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$ збігається тоді й лише тоді, коли «ущільнений» ряд ${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ збігається. Крім того, якщо вони збігаються, то суми обмежені співвідношенням:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n),}$

Доведення

Погрупуємо доданки в групи з довжиною рівною степеню двійки (1, 2, 4, …):

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}$

Погрупуємо доданки результату в групи з довжиною рівною степеню двійки по іншому (2, 4, 8, …):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&={\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq {\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{aligned}}}$

Візуалізація подвійної нерівності. Часткові суми рядів ${\textstyle \sum f(n),\;\sum 2^{n}f(2^{n}),\;2\sum f(n)}$ Показані накладеними одна на одну.

Порівняння інтегралів

Заміна ${\textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})}$ нагадує заміну змінної інтегрування ${\textstyle x\rightarrow e^{x}}$, що дає ${\textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x}$.

По аналогії з інтегральною ознакою Маклорена — Коші, для монотонної функції ${\displaystyle f}$: ${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$ збігається тоді і лише тоді, якщо ${\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$ збігається.

Підстановка ${\textstyle x\rightarrow 2^{x}}$ дає інтеграл ${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$. Оскільки ${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x<\log 2\ \int _{0}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$, де права сторона відповідає застосуванню інтегральної ознаки до ${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$. Тому, ${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$ збігається тоді і лише тоді, коли ${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ збігається.

Приклади

Тест може бути корисним при наявності n у знаменнику f.

• Найпростіший приклад: гармонійний ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$ перетворюється в ряд :${\textstyle \sum 1}$, який явно розбіжний.

• У прикладі

${\displaystyle f(n):=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.}$

Ряд є розбіжним для a > 1 і збіжним для a < 1. Для a = 1, перетворення стиснення дає ряд

${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}.}$

Тому за аналогією: ряд є розбіжним для b > 1, і збіжним для b < 1. При b = 1 аналогічно працює значення c.

• Аналогічним є алгоритм визначення збіжності для узагальненого ряду Бертрана

${\displaystyle \sum _{n\geq N}{\frac {1}{n\cdot \log n\cdot \log \log n\cdots \log ^{\circ (k-1)}n\cdot (\log ^{\circ k}n)^{\alpha }}}\quad \quad (N=\lfloor \exp ^{\circ k}(0)\rfloor +1)}$.

Де ${\displaystyle f^{\circ m}}$ означає m-та ітерація функції ${\displaystyle f}$, тобто: :${\displaystyle f^{\circ m}(x):={\begin{cases}f(f^{\circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,\ldots$ ;\\x,&m=0.\end{cases}}}

Узагальнення Шльомільха

...

Джерела

• Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-745-6.
• Cauchy condensation test proof