Оператор Лапласа — Бельтрамі

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́мі (називають іноді оператором Бельтра́мі — Лапла́са або просто оператором Бельтра́мі)- диференціальний оператор другого порядку, що діє в просторі гладких (або аналітичних) функцій на рімановому многовиді ${\displaystyle M}$.

У координатах ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ де ${\displaystyle n=\dim M,}$ оператор Лапласа — Бельтрамі задають так. Нехай ${\displaystyle (g_{ij})}$ — матриця метричного тензора ріманового многовиду, ${\displaystyle (g^{ij})}$ — обернена матриця і ${\displaystyle g=\det(g_{ij})}$, тоді оператор Лапласа — Бельтрамі має вигляд

${\displaystyle -\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggl (}g^{ij}{\sqrt {g}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\biggr )}.\qquad (*)}$

Приклади

• У разі, коли ${\displaystyle M}$ — область в евклідовому просторі зі стандартною метрикою ${\displaystyle (g_{ij})=(\delta _{ij})}$ — одинична матриця, оператор Лапласа-Бельтрамі (*) перетворюється (з точністю до знака) на оператор Лапласа.

• Нехай ${\displaystyle \dim M=2}$ і метричний тензор має вигляд ${\displaystyle ds^{2}=E(x,y)\,dx^{2}+2F(x,y)\,dxdy+G(x,y)\,dy^{2},}$ тоді формула (*) набуває вигляду

  ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial y}}-G{\frac {\partial }{\partial x}}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\biggr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial x}}-E{\frac {\partial }{\partial y}}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\biggr )}.\qquad (**)}$

• Диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку ${\displaystyle Lf=0,}$ де оператор ${\displaystyle L}$ задано формулою (**), можна розв'язати, якщо функції ${\displaystyle E,F,G}$ аналітичні або досить гладкі. Цей факт використовується для доведення існування локальних ізометричних (конформних) координат на поверхні ${\displaystyle M}$, тобто доведення того, що кожен двовимірний ріманів многовид локально конформно еквівалентний евклідовій площині.^[1]