Осциляції Фріделя

Осциляції Фріделя^[1] — періодичний розподіл електронної густини, що виникає при екрануванні електричного заряду дефекту.^[2] Названі на честь французького фізика Жака Фріделя. Виникають унаслідок локалізованих збурень у металевій або напівпровідниковій системі, викликаних дефектом у фермі-газі або фермі-рідині.^[3]

Рис.1. Екранування негативно зарядженої частинки в «басейні» позитивних іонів

Осциляції Фріделя є квантово-механічним аналогом екранування електричного заряду заряджених частинок у «басейні» іонів (див. Рис. 1). У той час, як екранування електричного заряду використовує поняття точкових зарядів для опису складу іонного "басейну", осциляції Фріделя, що описують ферміони в фермі-рідині або фермі-газі, вимагають квантового опису розсіювання електронних хвиль на потенціалі дефекту. Такі осциляції відображують характерний експоненціальне загасання ферміонної щільності поблизу збурення, за яким слідує загасання ${\displaystyle 1/r^{3}}$з осциляціями (r - відстань від дефекту).

Розсіювання на дефекті

Електрони, що рухаються в металі або напівпровіднику, подібні вільним електронам з хвильовою функцією у вигляді плоскої хвилі, тобто

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$ .

Електрони в металі поводяться інакше, ніж частинки у звичайному газі, оскільки електрони є ферміонами, і вони підкоряються статистиці Фермі-Дірака. Така поведінка означає, що кожен k - стан у газі може бути зайнятий лише двома електронами з протилежним спіном. Зайняті стани заповнюють сферу в зонній структурі k - простору до фіксованого енергетичного рівня — енергії Фермі ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$. Радіус кулі в k - просторі, ${\displaystyle k_{F}={\sqrt {2m^{*}\varepsilon _{F}}}/\hbar }$, називається хвильовим вектором Фермі, ${\displaystyle m^{*}}$ — ефективна маса.

Якщо в металі або напівпровіднику знаходиться чужорідний атом, так звана домішка, електрони, які вільно рухаються у провіднику, розсіюються потенціалом домішки. Оскільки електронний газ є фермі-газом, лише електрони з енергіями, близькими до рівня Фермі, можуть брати участь у процесі розсіювання, тому що повинні існувати порожні кінцеві стани з близькою енергією, в які могли б перейти розсіяні електрони. Стани навколо рівня Фермі, які можуть бути розсіяні, займають обмежений діапазон k — значень або довжин хвиль. Тому лише електрони в обмеженому діапазоні довжин хвиль поблизу енергії Фермі розсіюються, що призводить до модуляції густини заряду ${\displaystyle n\left(\mathbf {r} \right)}$ навколо домішки. Для сферично симетричного потенціалу домішки, що має позитивний заряд, у тривимірному металі густина заряду осцилює, як функція відстані від домішки ${\displaystyle |{\boldsymbol {r}}|}$:

${\displaystyle n\left(\mathbf {r} \right)={{n}_{0}}+{\frac {1}{4\pi {{r}^{3}}\epsilon \left(2{{k}_{F}}\right)}}\sum \limits _{l}{(-1)^{l}{Z}_{l}}\cos \left(2{{k}_{F}}r+{{\delta }_{l}}\right)}$ ,

де ${\displaystyle l}$ — орбітальне квантове число, ${\displaystyle \delta _{l}}$ — фаза розсіювання парціальної компоненти хвильової функції електрона, ${\displaystyle \epsilon \left(2{{k}_{F}}\right)}$ - діелектрична проникність металу з хвильовим вектором, що дорівнює подвоєний вектор Фермі. Надлишкова кількість електронів навколо домішкового йона визначається правилом сум Фріделя:

${\displaystyle \Delta N=\sum \limits _{l}{{Z}_{l}}={\frac {2}{\pi }}\sum \limits _{l}{\left(2l+1\right)}{{\delta }_{l}}\left({{k}_{F}}\right).}$

Для довільної розмірності електронної системи, ${\displaystyle d=1,2,3}$, доданок до густини заряду на великій відстані від дефекту має вигляд:^[4]

${\displaystyle \delta n(\mathbf {r} )\sim {\frac {\cos(2k_{\rm {F}}|\mathbf {r} |+\delta )}{|\mathbf {r} |^{d}}}.}$

Якісний опис

У класичному сценарії екранування електричного заряду спостерігається загасання електричного поля в зарядженій рідині, при наявності зарядженого об'єкта. Оскільки екранування електричного заряду розглядає рухомі заряди в рідині як точкові об'єкти, концентрація цих зарядів відносно відстані від точки зменшується експоненціально. Це явище описується рівнянням Пуассона–Больцмана.^[5]

Локалізований біля дефекту заряд створюється швидкими електронами фермі-газу, які притягуються до дефекту, дещо сповільнюють свій рух біля нього та скупчуються в цій області. Існування різкої границі довжин електронних хвиль призводить до виникнення ефектів квантової інтерференції, внаслідок чого навколо центру, що розсіює, виникає гало заряду.^[6]

Примітка. Там, де класично поблизу зарядженого збурення можна спостерігати переважну кількість протилежно заряджених частинок, у квантовомеханічному сценарії осциляцій Фріделя — це періодичні розташування протилежно заряджених ферміонів, за якими слідують простори з такими ж зарядженими областями.^[3]

Візуалізація двовимірних осциляцій

Рис.2. Зображення сканувальної тунельної мікроскопії домішок Cr та сходинок на поверхні Fe (001).^[7]

Сканувальна тунельна мікроскопія дозволяє з атомною роздільністю досліджувати локальну густину електронних станів ${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)}$ (ЛГС) поблизу поверхні провідника:

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)=\sum \limits _{\mathbf {k} }{\left|{{\psi }_{\mathbf {k} }}\left(\mathbf {r} \right)\right|}^{2}\delta \left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{\mathbf {k} }}\right),}$

де ${\displaystyle {{\psi }_{\mathbf {k} }}\left(\mathbf {r} \right)}$ — хвильова функція електрона з урахуванням розсіювання на дефекті, ${\displaystyle {{\varepsilon }_{\mathbf {k} }}}$ — енергія електрона з двовимірним хвильовим вектором ${\displaystyle \mathbf {k} }$, ${\displaystyle \delta \left(x\right)}$ — дельта-функція Дірака. Розсіювання на дефекті призводить до інтерференції хвиль і зміни густини станів, що відображає розсіювальні властивості дефекту.^[8] Типовими дефектами поверхні є адсорбовані чужорідні одиничні атоми (точкові дефекти) і атомарні сходинки (лінійні дефекти) (Рис.2). Одним зі способів розуміння якісних характеристик стоячих хвиль біля східчастого краю є наближення, в котрому плоский східчастий край моделюється непроникним бар'єром для електронів поверхневих станів. Східчастий край створює вузол ЛГС, ${\displaystyle \rho \left(0,{{\varepsilon }_{F}}\right)=0}$, на межі сходинки ${\displaystyle x=0}$, а ЛГС на відстані ${\displaystyle x}$ від сходинки описується рівнянням:^[8]

${\displaystyle \rho \left(x,{{\varepsilon }_{F}}\right)={\frac {{m}^{*}}{\pi {{\hbar }^{2}}}}\left[1-{{J}_{0}}\left(2{{k}_{F}}x\right)\right]}$,

де ${\displaystyle {{J}_{0}}\left(x\right)}$ — функція Бесселя першого роду. Двовимірні осциляції Фріделя спостерігалися, наприклад, на СТМ-зображенні чистої поверхні міді, на якій були розміщені наноострівки кобальту та точкові дефекти ^[9].

Посилання

• http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/02/friedel-oscillations-wherein-we-learn-that-the-electron-has-a-size/ [Архівовано 23 грудня 2021 у Wayback Machine.] - просте пояснення цього явища