Параметричне рівняння

Параметричні рівняння — метод представлення математичних функцій через параметри. Простий кінематичний приклад, коли час використовується як параметр для задання позиції, швидкості та іншої інформації про тіло в русі.

Приклад кривої, визначеної параметричними рівняннями — крива метелик.

Параметричне представлення функції

Припустимо, що функціональна залежність y від x не задана прямо y = f(x), а через проміжну величину — t. Тоді формули

${\displaystyle x=\varphi (t)~;~}$  ${\displaystyle ~y=\psi (t)}$

задають параметричні рівняння для функції однієї змінної.

Якщо припустити, що обидві ці функції ${\displaystyle \varphi }$ і ${\displaystyle \psi }$ мають похідні і для ${\displaystyle \varphi }$ існує обернена функція θ, явне представлення функції має вигляд^[1]:

${\displaystyle ~y=\psi (\theta (x))=f(x)}$

і похідна функції може бути обрахована як

${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}}}$

2D-приклади

Парабола

Тривіальний приклад, рівняння параболи:

${\displaystyle y=x^{2}\,}$

може бути параметризоване із використанням параметра t таким чином

${\displaystyle x=t\,}$

${\displaystyle y=t^{2}.\,}$

Коло

Для кола радіуса a:

${\displaystyle x=a\cos(t)\,}$

${\displaystyle y=a\sin(t).\,}$

3D-приклади

Гвинтова лінія

Параметризована гвинтова лінія

Параметричні рівняння зручні для опису кривих і в багатовимірних просторах. Наприклад:

${\displaystyle x=a\cos(t)\,}$

${\displaystyle y=a\sin(t)\,}$

${\displaystyle z=bt\,}$

описує тривимірну криву, гвинтова лінія, яка має радіус a і підіймається на 2πb за оберт.

Подібні вирази також записуються як

${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt).\,}$

Корисність

Такий спосіб представлення є практичним і ефективним; наприклад, можна інтегрувати і брати похідну почленно. Таким чином, швидкість точки, що рухається згідно з цими рівняннями може бути представлена як:

${\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,}$

і прискорення:

${\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,}$

Загалом, параметризована крива є функцією від одного параметра (зазвичай t). Для відповідного випадку із двома і більше параметрами, дивись параметрична поверхня.