Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Передбаза топології

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Remove ads

У топології передбазою (або підбазою ) для топологічного простору X із топологією T називається підмножина B топології T, яка породжує T, тобто T є найменшою топологією, що містить B.

Означення

Узагальнити
Перспектива

Нехай X — топологічний простір із топологією T. Передбазою T називається підмножина B топології T, яка задовольняє еквівалентним умовам:

  1. Підмножина B породжує топологію T. Тобто T є найменшою топологією, що містить B: будь-яка топологія T' на X, що містить B також містить T.
  2. Набір відкритих множин, що складається із усіх скінченних перетинів елементів B, разом із множиною X є базою для T. Іншими словами кожна власна відкрита множина у T є об'єднанням скінченних перетинів елементів B. Тобто для будь-якої точки x у відкритій множині UX є скінченна кількість множин S1, ..., Sn із B перетин яких містить точку x і є підмножиною U.

Для будь-якої підмножин S булеана P(X) існує єдина топологія для якої S є передбазою. Ця топологія є перетином усіх топологій на X, що містять S. Натомість для заданої топології може бути багато різних передбаз.

Іноді в означенні передбази вимагається щоб B було покриттям X.[1]

При цьому означенні дві властивості вище не завжди є еквівалентними. Існують простори X із топологією T, для яких існують підмножини B топології T і T є найменшою топологією, що містить B але B не є покриттям X. Проте такі простори є досить екзотичними; наприклад передбаза простору, що має принаймні дві точки і задовольняє аксіому T1 є покриттям цього простору.

Remove ads

Приклади

Узагальнити
Перспектива
  • Для звичайної топології дійсних R усі напівнескінченні відкриті інтервали виду (−∞,a) або (b,∞), де a і b є дійсними числами є передбазою. Вони породжують стандартну топологію оскільки перетини (a,b) = (−∞,b) ∩ (a,∞) для a < b утворюють базу топології. Іншу передбазу можна отримати якщо взяти підмножину напівнескінченних інтервалів для яких a і b є раціональними числами. У цьому випадку відкриті інтервали (a,b) де a, b є раціональними також утворюють базу для стандартної топології.
  • Передбаза із напівнескінченних відкритих інтервалів виду (−∞,a), де a є дійсним числом не породжує стандартну топології. Породжена також передбазою топологія не задовольняє аксіому T1, оскільки всі відкриті множини мають непустий перетин.
  • Якщо є нескінченною множиною, то множина скінченних підмножин, із кількістю елементів , тобто
є передбазою дискретної топології, тобто топології
  • Ініціальна топологія на X задана сім'єю функцій fi : XYi, де всі Yi є топологічними просторами є найслабшою топологією на X для якої всі fi є неперервними. Оскільки неперервність означається за допомогою прообразів відкритих множин то ініціальна топологія на X породжується передбазою елементами якої є fi−1(U), для всіх U, що є відкритими підмножинами для всіх Yi.
  • Важливими окремими випадками попереднього прикладу є добуток топологічних просторів, де сім'єю функцій є множина проєкцій із добутку на кожен множник і топологічний підпростір, де сім'я складаються з єдиної функції включення.

для різних компактних підмножин KX і відкритих підмножин UY.

Remove ads

Властивості

  • За допомогою передбаз можна дати означення неперервності: відображення f : XY між топологічними просторами є неперервним тоді і тільки тоді, коли для кожної множини U із передбази A топологічного простору Y, прообраз відображення f−1(U) є відкритою множиною.
  • Теорема Александера. Нехай X є топологічним простором із передбазою B. Якщо кожне покриття елементами B має скінченне підпокриття, то простір є компактним.

Примітки

Див. також

Література

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads