Перерахування графів

Перерахування графів — категорія завдань нумераційної комбінаторики, в яких потрібно перерахувати неорієнтовані або орієнтовані графи певних типів, як правило, у вигляді функції від числа вершин графу^[1]. Ці завдання можуть бути розв'язані або точно (як завдання алгебричного перерахування^[en]) або асимптотично.

Повний список всіх дерев з 2,3 і 4 позначеними вершинами:
* ${\displaystyle 2^{2-2}=1}$ дерево з 2 вершинами;
* ${\displaystyle 3^{3-2}=3}$ дерева з 3 вершинами;
* ${\displaystyle 4^{4-2}=16}$ дерев з 4 вершинами.

Піонерами в цій галузі математики були Пойа^[2], Келі^[3] і Редфілд^[4].

Позначені і непозначені задачі

У деяких задачах перерахування графів вершини графів вважаються позначеними, тобто відрізняються одна від одної. В інших задачах будь-яка перестановка вершин вважається тим самим графом, так що вершини вважаються ідентичними або непозначеними. У загальному випадку, позначені задачі, як правило, виявляються простішими^[1]. Теорема Редфілда — Пойї є важливим засобом для зведення непозначеної задачі до позначеної — кожен непозначений клас вважається класом симетрії позначених об'єктів.

Точні формули перерахування

Деякі важливі результати в цій галузі.

• Кількість позначених простих неорієнтованих графів з n вершинами дорівнює 2^{n(n − 1)/2[5]}
• Кількість позначених простих орієнтованих графів з n вершинами дорівнює 2^{n(n − 1)[6]}
• Число C_n зв'язних позначених неорієнтованих графів з n вершинами задовольняє рекурентному співвідношенню^[7]

${\displaystyle C_{n}=2^{n \choose 2}-{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n-1}k{n \choose k}2^{n-k \choose 2}C_{k}.}$

з якого можна легко обчислити для n = 1, 2, 3, ..., що значення C_n дорівнюють^[8]:

1, 1, 4, 38, 728, 26704, 1866256, ...

• Кількість позначених вільних дерев з n вершинами дорівнює n^{n − 2} (формула Келі).
• Число непозначених гусениць з n вершинами дорівнює^[9]

${\displaystyle 2^{n-4}+2^{\lfloor (n-4)/2\rfloor }.}$