Перетворення трикутник-зірка

Перетворення трикутник-зірка — спосіб еквівалентного перетворення пасивної ділянки лінійного електричного кола — «трикутника» (з'єднання трьох гілок, яке має вигляд трикутника, сторонами якого є гілки, а вершинами — вузли), в «зірку» (поєднання трьох гілок, які мають один загальний вузол). Еквівалентність «трикутника» і «зірки» обумовлена тим, що це перетворення ніяк не впливає на струми та напруги в інших, тобто непереворюваних, частинах електричного кола^[1].

Подальші міркування наводяться для резисторів, але можуть бути застосовані й для інших пасивних елементів.

Пряме перетворення

Трикутник

Зірка

Розглянемо наведені справа схеми щодо вузлів 1 та 2.

У схемі «трикутник» резистор ${\displaystyle R_{12}}$ з'єднаний паралельно з послідовно з'єднаними резисторами ${\displaystyle R_{13}}$ і ${\displaystyle R_{23}}$, що відповідає послідовно з'єднаним опорам ${\displaystyle R_{1}}$ і ${\displaystyle R_{2}}$ в схемі «зірка». Звідси випливає, що:

${\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{12}\cdot (R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

Аналогічно для інших пар вузлів:

${\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{13}\cdot (R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

${\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{23}\cdot (R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

Розв'язуючи подану систему рівнянь щодо опорів ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{2}}$ і ${\displaystyle R_{3}}$, отримуємо:

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{12}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{12}\cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{23}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

Зворотне перетворення

Розв'язавши початкову систему рівнянь щодо опорів ${\displaystyle R_{12}}$, ${\displaystyle R_{13}}$ і ${\displaystyle R_{23}}$ отримаємо формули для зворотного перетворення, з «зірки» в «трикутник»:

${\displaystyle R_{12}=R_{1}+R_{2}+{\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{3}}}}$

${\displaystyle R_{13}=R_{1}+R_{3}+{\frac {R_{1}\cdot R_{3}}{R_{2}}}}$

${\displaystyle R_{23}=R_{2}+R_{3}+{\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}}}}$

Застосування

Резисторний міст

Перетворення трикутник-зірка може бути корисним для розрахунку опору резисторного моста при умові:

${\displaystyle {\frac {R_{1}}{R_{2}}}\neq {\frac {R_{4}}{R_{3}}}}$

Якщо ж вище наведена рівність справедлива, то схема набуває симетрії — для її розрахунку достатньо стандартних методів (послідовне й паралельне з'єднання).