Перша теорема Веєрштрасса

Перша теорема Веєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на відрізку (замкненому проміжку).

У деяких підручниках цю теорему об'єднують із другою теоремою Веєрштрасса в одну «теорему Веєрштрасса»^[1].

Формулювання теореми

Якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, то вона обмежена на цьому проміжку^[2].

Доведення

Доведемо, що функція ${\displaystyle f(x)}$ обмежена зверху на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ (обмеженість знизу доводиться аналогічно)^[2].

Припустимо протилежне, тобто, що ${\displaystyle f(x)}$ не є обмеженою на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$.

Тоді для будь-якого натурального числа ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n=1,2,...)}$ знайдеться хоча б одна точка ${\displaystyle x_{n}}$ з проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ така, що ${\displaystyle f(x_{n})>n}$ (інакше ${\displaystyle f(x)}$ була б обмежена зверху на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$).

Таким чином, існує послідовність значень ${\displaystyle x_{n}}$ з проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ така, що відповідна їй послідовність значень функції ${\displaystyle {f(x_{n})}}$ є нескінченно великою. Внаслідок теореми Больцано — Веєрштрасса, з послідовності ${\displaystyle {x_{n}}}$ можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки ${\displaystyle c}$, що належить ${\displaystyle [a,b]}$. Позначимо цю послідовність символом ${\displaystyle {x_{k}}}$, ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle (n=1,2,...)}$. Внаслідок неперервності функції ${\displaystyle f(x)}$ у точці ${\displaystyle c}$ відповідна підпослідовність значень функції ${\displaystyle {f(x_{k})}}$ має збігатися до ${\displaystyle {f(c)}}$. Але це неможливо, оскільки підпослідовність ${\displaystyle {f(x_{k})}}$, яку виділено з послідовності ${\displaystyle {f(x_{n})}}$, сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

Зауваження

Для інтервалу (чи півпроміжку) твердження, аналогічне першій теоремі Веєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію ${\displaystyle f(x)=1/x}$ на інтервалі ${\displaystyle (0,1)}$. Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ ${\displaystyle (n=2,3,...)}$, які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle {f(x_{n})}={n}}$ є нескінченно великою.

Див. також

• Теорема Веєрштрасса — Стоуна