Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Поліноми Бернштейна

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Remove ads

Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна — Веєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.

Визначення

Узагальнити
Перспектива

(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:

де  біноміальний коефіцієнт.

Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору поліномів степеня n.

Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна

називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Бернштейна.

Remove ads

Приклади

Узагальнити
Перспектива

базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:

Remove ads

Властивості

  • Розбиття одиниці:
,
  • Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:
,
  • Рекурентні відношення:
.
  • Симетрія:
  • Добуток поліномів:
  • Похідна:
де приймається для чи
  • Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:
  • Локальний максимум:
має локальний максимум на проміжку у точці . Дане значення рівне:
Remove ads

Вираження x k {\displaystyle x^{k}} через поліноми Бернштейна

Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:

Remove ads

Апроксимація неперервних функцій

Нехай f(x) неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:

Тоді:

рівномірно на проміжку [0, 1].

Remove ads

Див. також

Джерела

Remove ads
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads