Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
Поліноми Бернштейна
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна — Веєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.
Визначення
Узагальнити
Перспектива
(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:
де — біноміальний коефіцієнт.
Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору поліномів степеня n.
Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна
називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Бернштейна.
Remove ads
Приклади
Узагальнити
Перспектива
базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:
Remove ads
Властивості
- Розбиття одиниці:
- ,
- Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:
- ,
- Рекурентні відношення:
- .
- Симетрія:
- Добуток поліномів:
- Похідна:
- де приймається для чи
- Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:
- Локальний максимум:
- має локальний максимум на проміжку у точці . Дане значення рівне:
Remove ads
Вираження x k {\displaystyle x^{k}} через поліноми Бернштейна
Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:
Remove ads
Апроксимація неперервних функцій
Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:
Тоді:
рівномірно на проміжку [0, 1].
Remove ads
Див. також
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Remove ads
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads