Поправка Бонферроні

У статистиці поправка Бонферроні є методом корекції результатів тесту під час множинних порівнянь.

Історія

Метод названий на честь нерівностей Бонферроні.^[1] Розширення методу на довірчі інтервали було запропоновано Олівією Джин Данн.^[2]

Під час проведення статистичного тесту дослідник або приймає або відхиляє нульову гіпотезу. Якщо імовірність отримати такі або ще більш відмінні різниці висока, то ми відхиляємо нульову гіпотезу. У статистиці нульова гіпотеза відхиляється якщо отримане у результаті тесту р-значення менше за становлений рівень значущості ${\displaystyle \alpha }$, і отримані результати тесту вважаються значущими.

Якщо перевіряється кілька гіпотез, збільшується імовірність того, що якась группа данних, яка походить з єдиної генеральної совокупності, буде значимо відрізнятись, а отже, збільшується ймовірність неправильного відхилення нульової гіпотези (тобто, допущення помилки першого типу).^[3]

Поправка Бонферроні компенсує збільшення цієї імовірності коригуючи рівень значущості: ${\displaystyle \alpha /m}$, де ${\displaystyle \alpha }$ є бажаним загальним альфа-рівнем і ${\displaystyle m}$ — кількість гіпотез.^[4] Наприклад, якщо під час множинного теступання ми хочемо порівняти між собою 20 груп ${\displaystyle m=20}$ з бажаним рівнем значущості ${\displaystyle \alpha =0.05}$, тоді поправка Бонферроні перевірить кожну окрему гіпотезу на ${\displaystyle \alpha =0.05/20=0.0025}$. Таким чином, аби результат тесту вважався значущим, отримане p-значення має бути мешним за ${\displaystyle 0.0025}$.

Подібним чином рівень значущості має коригуватися при побудові кількох довірчих інтервалів.

Визначення

Нехай ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$ є сімейством гіпотез, де ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{m}}$ є їхні відповідні p-значення, а ${\displaystyle m}$ — кількість нульових гіпотез, і нехай ${\displaystyle m_{0}}$ буде кількістю істинних нульових гіпотез (остання кількість є невідома досліднику). Групова ймовірність помилки першого роду (англ. family-wise error rate (FWER)) — це ймовірність відхилення принаймні одної істинно вірної нульової гупотези ${\displaystyle H_{i}}$. Тобто ймовірність помилки першого типу . Згідно із поправкою Бонферроні, нульова гіпотеза відхиляється для кожного ${\displaystyle p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}}$, тим самим контролюючи FWER на рівні ${\displaystyle \leq \alpha }$ . Доказ цього контролю випливає з нерівності Буля наступним чином:

${\displaystyle {\text{FWER}}=P\left\{\bigcup _{i=1}^{m_{0}}\left(p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}\right)\right\}\leq \sum _{i=1}^{m_{0}}\left\{P\left(p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}\right)\right\}=m_{0}{\frac {\alpha }{m}}\leq \alpha .}$

Ця корекція не потребує жодних припущень щодо незалежності p-значень або щодо кількості істинних нульових гіпотез.^[5]

Довірчі інтервали

Процедура, запропонована Данн, може бути використана для коригування довірчих інтервалів. При побудові ${\displaystyle m}$ довірчих інтервалів з рівнем довіри ${\displaystyle 1-\alpha }$, новий рівень довіри має бути скоригований наступним чином: ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{m}}}$ .

Альтернативні методи

Існують і інші способи контролювати помилку першого типу. Наприклад, метод Холма–Бонферроні та корекція Шидака вважаються більш потужними процедурами, ніж корекція Бонферроні.^[6]

Критика

Поправка Бонферроні вважається доволі консервативною при контролюванні імовірності допущення помилки першого типу під час множинних порівнянь. Коли кількість порівнюванних груп ${\displaystyle m}$ велика, рівень значущості ${\displaystyle \alpha }$ знижується пропорційно кількості груп. Тим самим зменшуючи імовірність отримати значущий результат статистичного тесту.^[7]

Таким чином, збільшується ймовірність отримати хибні негативні результати, що веде до зниження статистичної потужності отриманих результатів.^[8]