Проблема Воринга

Проблема Воринга  — запропонована у 1770 році Едвардом Ворингом проблема теорії чисел, що запитує чи для кожного натурального числа k існує пов'язане додатне ціле число s таке, що кожне натуральне число є сумою не більше, ніж s k-тих степенів натуральних чисел (наприклад, кожне число є сумою не більше 4 квадратів, або 9 кубів, або 19 четвертих степенів і т.д.). Ствердну відповідь, відому як теорема Гільберта — Воринга, довів Гільберт у 1909 році.^[1] Проблема Воринга має свою власну MSC-класифікацію, 11P05, "Проблема Воринга та варіанти".

Число g(k)

Для кожного k, позначимо через g(k) мінімальне число k-тих степенів, необхідних для подання всіх цілих чисел. Очевидно, що g(1) = 1. Прості міркування показують, що 7 вимагає 4 квадрати, 23 вимагає 9 кубів, і 79 вимагає 19 четвертих степенів; ці приклади показують, що g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9, а g(4) ≥ 19. Воринга припустив, що ці значення були дійсно найкращі з можливих.

У 1770 році Лагранж довів теорему про чотири квадрати згідно з якою, кожне натуральне число є сумою не більше чотирьох квадратів, а, оскільки, трьох квадратів не вистачає, ця теорема встановила, що g(2) = 4. Таку гіпотезу висловлював ще в 1621 році Клодом Баше (Claude Gaspard Bachet de Méziriac); Ферма стверджував, що знає доведення, але не опублікував його^[2].

Протягом багатьох років, використовують все більш витончені й складні методи доведення, були встановлені різні оцінки. Наприклад, Ліувілль показав, що g(4) не перевищує 53. Гарді та Літлвуд показали, що досить великі числа є сумою не більше 19 четвертих степенів.

Те, що g(3) = 9 було встановлено між 1909 та 1912 роками Віферихом^[3] та Кемпнером (A. J. Kempner)^[4], у 1986 році Баласубраманян (Ramachandran Balasubramanian), Дресс (F. Dress) та J.-M. Deshouillers^[5] показали, що g(4) = 19

Ейлер припустив, що, позначаючи через [x] і {x} цілу та дробової частини x відповідно, g(k) = 2^k + [(3/2)^k] − 2.^[6]. Пізніші роботи Діксона (Leonard Eugene Dickson), Нівена^[7] та інших уточнили цю ідею.

Число G(k)

Границі
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 21
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Починаючи з робіт Гарді та Літлвуда, більша увага ніж g(k) приділяється числу G(k), яке визначається як найменше число s таке, що кожне достатньо велике ціле (тобто кожне ціле число, більше деякої константи) може бути представлено у вигляді суми не більше ніж s k-тих степенів додатних цілих. Очевидно, що G(k) ≤ g(k). Оскільки квадрати цілих чисел конгруентні 0,1 або 4 за модулем 8, то жодне число x ≡ 7 (mod 8) не може бути представлене сумою менш ніж чотирьох квадратів, тобто, G(2)=4.

У 1939 році Девенпорт (Harold Davenport) показав, що G(4)=16. Для інших k значення G(k) є невідоме, але встановлені нижня та верхні границі:

Див. також

• Стала Ландау — Рамануджана
• Сума трьох кубів
• Теорема Лежандра про три квадрати