Просте число Рамануджана

У математиці просте число Рамануджана — це просте число, яке задовольняє результат щодо функції підрахунку простих чисел, який довів Срініваса Рамануджан.

Походження та визначення

1919 року Рамануджан опублікував нове доведення постулату Бертрана, який, як він зазначає, вперше довів Чебишов.^[1] Наприкінці двосторінкової статті Рамануджан отримав узагальнений результат, а саме:

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 1,2,3,4,5,\ldots {\text{ для всіх }}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {\text{ відповідно}}}$    OEIS: A104272

де ${\displaystyle \pi (x)}$ — функція розподілу простих чисел, що дорівнює кількості простих чисел, менших або рівних x.

Оберненим до цього результату є визначення простих чисел Рамануджана:

${\displaystyle n}$-е просте число Рамануджана це найменше ціле числ ${\displaystyle R_{n}}$, для якого ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n,}$ для всіх ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$.^[2] Іншими словами: прості числа Рамануджана — це найменші цілі числа ${\displaystyle R_{n}}$, для яких між ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle x/2}$ є принаймні ${\displaystyle n}$ простих чисел для всіх ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$.

Таким чином, перші п'ять простих чисел Рамануджана — це 2, 11, 17, 29 і 41.

Зауважимо, що ціле число ${\displaystyle R_{n}}$ обов'язково є простим числом: ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ і, отже, ${\displaystyle \pi (x)}$ має збільшуються за отримання іншого простого числа при ${\displaystyle x={R_{n}}}$.^{[прояснити]} Оскільки ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ може збільшитися щонайбільше на  1,

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n.}$

Оцінки та асимптотична формула

Для всіх ${\displaystyle n\geqslant 1}$, ${\displaystyle R_{n}}$ має межі

${\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n}$.

Якщо ${\displaystyle n>1}$, то також

${\displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$

де ${\displaystyle p_{n}}$ _- ${\displaystyle n}$-е просте число.

Оскільки ${\displaystyle n}$ прямує до нескінченності, ${\displaystyle R_{n}}$ наближається до ${\displaystyle 2n}$-го простого числа, тобто

${\displaystyle R_{n}\sim p_{2n}(n\rightarrow \infty )}$.

Усі ці результати довів Сондоу (2009),^[3] за винятком верхньої межі ${\displaystyle R_{n}<p_{3n}}$, яку запропонував він і довів Лейшрам (2010).^[4] Сондоу, Ніколсон та Ное (2011) покращили межу^[5] до

${\displaystyle R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\ p_{3n}}$

що є оптимальною формою ${\displaystyle R_{n}<cp_{3n}}$_, оскільки рівність виникає при n = 5.