Простір Мізнера

Про́стір Мі́знера — це абстрактний математичний простір-час,^[1] який уперше описав Чарльз Мізнер^[2]. Він також відомий як орбівид Лоренца ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}/{\text{boost}}}$. Це спрощена двовимірна версія простору-часу Тауба-НУТ^[en]. Він містить сингулярність без кривини і є важливим контрприкладом різним гіпотезам загальної теорії відносності.

Метрика

Найпростішим описом простору Мізнера є розгляд двовимірного простору Мінковського з метрикою

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+dx^{2},}$

з ідентифікацією кожної пари точок простору-часу постійним посиленням

${\displaystyle (t,x)\to (t\cosh(\pi )+x\sinh(\pi ),x\cosh(\pi )+t\sinh(\pi )).}$

Його також можна визначити безпосередньо на циліндричному многовиді ${\displaystyle \mathbb {R} \times S}$ з координатами ${\displaystyle (t',\varphi )}$ за метрикою

${\displaystyle ds^{2}=-2dt'd\varphi +t'd\varphi ^{2},}$

Ці дві координати пов’язані відображенням

${\displaystyle t=2{\sqrt {-t'}}\cosh \left({\frac {\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle x=2{\sqrt {-t'}}\sinh \left({\frac {\varphi }{2}}\right)}$

і

${\displaystyle t'={\frac {1}{4}}(x^{2}-t^{2})}$

${\displaystyle \phi =2\tanh ^{-1}\left({\frac {x}{t}}\right)}$

Причинність

Простір Мізнера є стандартним прикладом для вивчення причинності, оскільки він містить як замкнуті часоподібні криві, так і компактно згенерований горизонт Коші, але все ще є плоским (оскільки це просто простір Мінковського). З координатами ${\displaystyle (t',\varphi )}$, цикл, визначений ${\displaystyle t=0,\varphi =\lambda }$, з дотичним вектором ${\displaystyle X=(0,1)}$, має норму ${\displaystyle g(X,X)=0}$, що робить його замкнутою нульовою кривою. Це горизонт хронології: замкнутих часоподібних кривих немає в ділянці ${\displaystyle t<0}$, тоді як у ділянці ${\displaystyle t>0}$ кожна точка допускає замкнуту часоподібну криву, що проходить через неї.

Це пов’язано з нахилом світлових конусів, які, для ${\displaystyle t<0}$, залишаються над лініями сталого ${\displaystyle t}$ але відкриваються за цією лінією для ${\displaystyle t>0}$, завдяки чому будь-який цикл сталого ${\displaystyle t}$ буде замкнутою часоподібною кривою.

Захист хронології

Простір Мізнера був першим простором-часом, де поняття хронологічного захисту було використано для квантових полів^[3], показавши, що в напівкласичному наближенні середнє значення тензора енергії напруги для вакууму ${\displaystyle \langle T_{\mu \nu }\rangle _{\Omega }}$ є розбіжним.