Проєкція точки на пряму

Якщо в просторі аналітично задано:

точку ${\displaystyle \ p(x,y,z)}$ та

пряму, яка проходить через точку ${\displaystyle \ p_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ в напрямку ${\displaystyle \ v(v_{x},v_{y},v_{z}).}$

Позначимо точкою ${\displaystyle \ p_{\perp }}$ проєкцію точки ${\displaystyle \ p}$ на задану лінію.

Координати цієї точки знаходяться за формулою:

${\displaystyle p_{\perp }=p_{0}\;+\;\mathrm {proj} _{v}(p-p_{0})=p_{0}+{\frac {\langle p-p_{0},v\rangle }{|v|^{2}}}v=p_{0}+{\frac {(x-x_{0})v_{x}+(y-y_{0})v_{y}+(z-z_{0})v_{z}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}v.}$

Відстань від точки до прямої

Докладніше: Відстань від точки до прямої

${\displaystyle d=|p-p_{\perp }|={\sqrt {|p-p_{0}|^{2}-{\frac {\langle p-p_{0},v\rangle ^{2}}{|v|^{2}}}}}.}$

Див. також

• Перпендикулярна відстань
• Проєкція вектора

Джерела

• Погорєлов О. В. Геометрія : Стереометрія : Підруч. для 10—11 кл. серед. шк. — 6-те вид. — Київ : Освіта, 2001. — 128 с.
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)