Прямокутний тетраедр

Прямокутний тетраедр — це чотиригранник у якого всі ребра, прилеглі до однієї з вершин, перпендикулярні між собою.

Прямокутний тетраедр може бути побудований з координат октанту і площини, що перетинає всі 3 осі від початку координат, як:${\displaystyle {\begin{cases}x>0&\\y>0&\\x>0&\\x/a+y/b+z/c<1&\end{cases}},}$ де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ — коордитати точок перетину з осями ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ та ${\displaystyle z}$.

У прямокутному тетраедрі завжди три прилеглі грані будуть прямокутними трикутниками, а остання грань буде довільним трикутником і називається базою.

Формули

У прямокутного тетраедра з перпендикулярними гранями ${\displaystyle a,b,c}$ та вершиною в точці перетину перпендикулярних ребер (прямокутний тригранний кут):

• ${\displaystyle V={\frac {1}{6}}abc}$ (об'єм тетраедра);
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}}$ (площа основи тетраедра); Носить назву теореми де Гуа.
• ${\displaystyle h={\frac {abc}{2S}};}$ ${\displaystyle {\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}}$ (висота тетраедра, проведена з вершини прямокутного тригранного кута на основу, де ${\displaystyle S}$ — це площа основи тетраедра);
• ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ (радіус сфери описаної навколо тетраедра);
• ${\displaystyle r={\frac {ab+bc+ac-{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}}{2(a+b+c)}}}$ (радіус сфери, вписаної в тетраедр);
• ${\displaystyle m={\frac {2}{3}}R;}$ ${\displaystyle ~m={\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ (медіана, проведена з вершини прямокутного тригранного кута, де R це — радіус сфери описаної навколо тетраедра);

Теорема де Гуа

Докладніше: Теорема де Гуа

Нехай площа основи ${\displaystyle T_{0}}$ і площи прямокутних граней відповідно ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$ і ${\displaystyle T_{3}}$, тоді

${\displaystyle T_{0}^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+T_{3}^{2}.}$

Це є узагальненням теореми Піфагора на випадок тетраедра.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Прямокутний тетраедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Див. також

• Правильний тетраедр
• Теорема де Гуа