Підкова Смейла

Підкова Смейла — приклад динамічної системи, що був розглянутий Стівеном Смейлом. Є критерієм існування в двовимірному відображенні складної динаміки та хаосу.

Підкова Смейла розглядається як певний механізм перетворення початкових даних за певним правилом. Дане відображення бере квадрат розміром ${\displaystyle S\!}$, рівномірно стискає його горизонтально на величину меншу ніж одна друга та рівномірно розтягує вертикально з коефіцієнтом більшим ніж два так, що утворюється довга і вузька смужка. Далі отримана смужка деформується так, що приймає форму підкови, та накладається на початкову область таким чином, що півколо згину ${\displaystyle (1-f)\!}$ залишається поза цією областю.

Умовна схема утворення підкови Смейла

Частина початкових умов, що утворюють орбіти, які не залишають початковий квадрат ${\displaystyle S\!}$ після ${\displaystyle n\!}$ відображень, становить ${\displaystyle f^{n}\!}$. Очевидно, що при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f^{n}\rightarrow 0}$ , тобто майже всі початкові умови покидають квадрат.

Цей приклад підштовхнув Д. В. Аносова до винайдення дифеоморфізмів Аносова, після чого з цих двох прикладів виросла теорія гіперболічних динамічних систем.

Джерела

• Ott, Edward (1994). Chaos in dynamical system (англ.). Cambridge University Press.