Радіан

Радіа́н (у математиці та фізиці) — це одиниця вимірювання площинних кутів в Міжнародній системі одиниць SI.

одиниця вимірювання кута^d
безрозмірнісна одиниця^d[1]
похідна одиниця SI, що має власну назву^[2][3] і основна одиниця UCUM^d 

Радіан
Кут 1 радіан відтинає дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола
Загальна інформація
Система одиниць	Похідні одиниці SI
Одиниця	кута
Позначення	рад або rad
Розмірність	безрозмірнісна, як відношення довжини дуги до радіуса 1 м/м
Перерахунок в інші системи
1 рад в...	дорівнює...
мілірадіанах	1000 мрад
обертах	1/2π оберта
градусах	180/π ≈ 57.296°
градах	200/π ≈ 63.662 гон
Радіан у Вікісховищі

Один радіан — це площинний кут, утворений двома радіусами, так, що довжина дуги між ними дорівнює радіусу кола. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.

Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання та має позначення рад (міжнародне — rad)^[4], але, зазвичай, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити від величин, виражених в радіанах.

Пояснення

Повна довжина кола дорівнює 2πr, де r — радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:

${\displaystyle {2\pi }}$ рад ${\displaystyle =360^{\circ }}$,

1 рад (або ${\displaystyle p^{\circ }}$) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''}$.

${\displaystyle {360^{\circ }}={2\pi }}$ рад,

${\displaystyle {1^{\circ }}={\frac {2\pi }{360}}}$ рад ${\displaystyle ={\frac {\pi }{180}}}$ рад.

Властивості

Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.

При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.

Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:

${\displaystyle \cos(x)\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Розмірність

Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіана, як відношення довжини кола до радіуса. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м⁻¹ (м/м, тобто метр на метр — чисельник і знаменник можливо скоротити, тобто він має розмірність 1).

Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots .}$

Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена змісту — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x³/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірнісним.

Кутові швидкості теорії електричних машин прийнято вимірювати в електричних радіанах в секунду (ел. рад/с). Зв'язок між кутовими швидкостями ел. рад/с та в механічних одиницях (рад/с) встановлюється окремими залежностями^[5].

Див. також

• Портал «Математика»

• Стерадіан,
• Тригонометрія,
• Полярна система координат
• Гон