Раціональна поверхня

Раціональна поверхня — це поверхня, біраціонально еквівалентна проєктивній площині, або, іншими словами, раціональний многовид^[en] розмірності два. Раціональні поверхні є найпростішими з приблизно 10 класів поверхонь класифікації Енрікеса — Кодайри комплексних поверхонь, і це були перші досліджені поверхні.

Структура

Будь-яку неособливу раціональну поверхню можна отримати неодноразовим роздуттям мінімальної раціональної поверхні. Мінімальними раціональними поверхнями є проєктивна площина і поверхні Гірцебруха^[en] ${\displaystyle \Sigma _{r}}$ для ${\displaystyle r=0}$ або ${\displaystyle r\geq 2}$.

Інваріанти: Всі плюрироди^{[en][уточнити]} рівні 0 і фундаментальна група тривіальна.

Ромб Ходжа:

         1
      0     0
   1    1+n    1,
      0     0
         1

де n дорівнює 0 для проєктивної площини, 1 для поверхонь Гірцебруха^[en] і більше від 1 для інших раціональних поверхонь.

Група Пікара^[en] є непарною унімодулярною ґраткою ${\displaystyle I_{1,n}}$, за винятком поверхонь Гірцебруха ${\displaystyle \Sigma _{2m}}$, для яких це парна унімодулярна ґратка _{${\displaystyle II_{1,1}}$}.

Теорема Кастельнуово

Гвідо Кастельнуово довів, що будь-яка комплексна поверхня, для якої ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle P_{2}}$ (іррегулярність і другий плюрирод) дорівнюють нулю, є раціональною. Це використовується в класифікації Енрікеса — Кодайри для розпізнавання раціональних поверхонь. Зарицький^[1] довів, що теорема Кастельнуово істинна також для полів додатної характеристики.

З теореми Кастельнуово випливає також, що будь-яка уніраціональна^[en] комплексна поверхня раціональна. Більшість уніраціональних комплексних многовидів розмірності 3 і вище не є раціональними. Для характеристики ${\displaystyle p>0}$ Зарицький^[1] знайшов приклад уніраціональних поверхонь (поверхні Зарицького^[en]), які не є раціональними.

Деякий час було неясно, чи є комплексні поверхні з нульовими ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle P_{1}}$ раціональними, але Федеріго Енрікес знайшов контрприклад (поверхня Енрікеса^[en]).

Приклади раціональних поверхонь

• Поверхні Бордіга^[en]: вкладення степеня 6 проєктивної площини в ${\displaystyle P^{4}}$, визначене 10 точками в загальному положенні.
• Поверхні Шатле^[en]
• Поверхні Кобла^[en]
• Кубічні поверхні. Неособливі кубічні поверхні ізоморфні роздуттю проєктивної площини в 6 точках, і є площинами Фано. Існують іменовані приклади — кубика Ферма, кубічна вузлова поверхня Келі^[en] і діагональна поверхня Клебша^[en].
• Поверхні дель Пеццо^[en] (поверхні Фано)
• Поверхня Еннепера
• Поверхні Гірцебруха^[en] ${\displaystyle \Sigma _{n}}$
• ${\displaystyle P^{1}\times P^{1}}$. Добуток двох проєктивних прямих є поверхнею Гірцебруха ${\displaystyle \Sigma _{0}}$_.
• Проєктивна площина
• Поверхня Сеґре^[en]. Перетин двох квадрик. Поверхня ізоморфна проєктивній площині, роздутій у 5 точках.
• Поверхня Штайнера^[en]. Поверхня в ${\displaystyle P^{4}}$ з особливостями, яка біраціональна проєктивній площині.
• Поверхні Вайта^[en], узагальнення поверхонь Бордіга.
• Поверхня Веронезе. Вкладення проєктивної площини в ${\displaystyle P^{5}}$.

Див. також

• Список алгебричних поверхонь^[en]