Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
Розкладання дробів при інтегруванні
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
В інтегруванні, розкладання раціонального дробу на суму найпростіших дозволяє інтегрувати раціональні функції.
Усякий правильний раціональний дріб , знаменник якого розкладено на множники
де лінійні множники в відповідають дійсним кореням , а множники — незвідні квадратичні множники що відповідають парам комплексних спряжених коренів .
Можна подати (лише єдиним способом) у виді наступної суми найпростіших дробів:
Невизначений інтеграл раціонального дробу на будь-якому проміжку, де знаменник дробу не обертається в нуль, існує і подається через елементарні функції, а саме, він є сумою:
- раціональних дробів (для доданків зі степенем ),
- раціональних логарифмів (для лінійних дробів зі степенем ),
- арктангенсів (для квадратичних дробів зі степенем ).
Зазвичай невідомі коефіцієнти шукають за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.
Рішення Ісаака Барроу для інтегралу від секансу було першим випадком використання розкладання дробів в інтегруванні[1].
Remove ads
Неформальний опис
Узагальнити
Перспектива
Відомо, що многочлен n-го степеня в загальному випадку має n комплексно-спряжених коренів (деякі корені можуть збігатися). Наприклад, многочлен x2 − 6x + 8 має два корені; многочлен x3 − 6x2 + 8x + 7 має три корені тощо.
Відповідно, будь-який многочлен може бути розкладений за формулою
де , … — корені многочлена.
Наприклад, многочлен x2 − 6x + 8 можна розкласти наступним чином:
x2 − 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),
де 2 і 4 — корені квадратного рівняння x2 − 6x + 8=0.
Отже, дріб, знаменником якої є многочлен, може бути розкладений наступним чином:
.
Ця операція розкладання дробу в деякому сенсі зворотня операції приведення дробу до спільного знаменника, з тією лише різницею, що тут ставиться зворотня задача — не привести дріб до спільного знаменника, а розкласти дріб, що має спільний знаменник, на декілька дробів, що мають різні знаменники.
Для прикладу розкладемо дріб
.
Згідно з тим, що написано вище, розклад цього дробу буде таким
.
Почнемо приводити два дроби у правій частині рівняння до спільного знаменника, і, очевидно, що чисельник, отриманого дробу буде рівним чисельнику первісного дробу
,
тобто, чисельник отриманого дробу буде дорівнювати одиниці.
Маємо
.
Записуючи два дроба з правого боку під одну риску, отримаємо
.
Розкривши дужки в знаменнику, отримаємо
.
Враховуючи, що знаменники однакові, то чисельники дробів з правої і лівої сторони можна порівняти; тоді отримаємо:
.
Розкриємо дужки з правої частини рівності та згрупуємо доданки:
.
В лівій частині множник при змінній х дорівнює нулю (змінна х відсутня), а вільний член дорівнює 1. В правій частині рівності множник при х дорівнює (А+В), а вільний член дорівнює (-4A — 2B). Прирівнюючи множники при х в правій і лівій частинах отримуємо рівняння:
.
Аналогічно прирівнюємо вільні члени, і отримуємо рівняння:
.
Об'єднуємо ці два рівняння в систему:
- .
Розв'язуючи цю систему, знаходимо,що
,
.
Отже, маємо розклад
Тоді, інтеграл від дробу
буде дорівнювати сумі інтегралів від двох дробів
.
Враховуючи, що під знаком диференціалу до змінної можна додавати будь-яку константу, запишемо
Зробимо дві заміни
- , .
Тоді інтеграл прийме вигляд
.
Ці два інтеграли можна знайти за таблицею інтегралів. Тоді остаточно отримуємо:
або
.
Remove ads
Многочлен першого степеня в знаменнику
Узагальнити
Перспектива
Підстановка u = ax + b, du = a dx дозволяє спростити інтеграл
до
Remove ads
Многочлен першого степеня в знаменнику, зведений до деякого цілого додатного степеня
Узагальнити
Перспектива
Та ж сама підстановка спрощує інтеграл, подібний наступному
до
Remove ads
В знаменнику многочлен другого степеня, який не має дійсних коренів
Узагальнити
Перспектива
Розглянемо інтеграл
Найпростіший шлях побачити, що знаменник x2 − 8x + 25 не має дійсних коренів, полягає в тому, щоб обчислити його дискримінант, і побачити, що цей дискримінант від'ємний. Іншим чином, можна виділити повний квадрат в знаменнику:
і можна побачити, що знаменник являє собою суму квадратів двох чисел, і ця сума ніколи не може бути рівною 0 або менше 0, якщо x — дійсне число.
Використовуючи підстановку
нам потрібно виділити вираз x − 4 в чисельнику. Тоді мі зможемо записати чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і тоді інтеграл буде записан у вигляді
Наведена вище підстановка дозволяє взяти перший із цих двох інтегралів:
Причина, з якої ми можемо опустити модульні дужки, є у тому, що, як ми казали раніше, вираз (x − 4)2 + 9 не може мати від'ємних значень.
Далі треба взяти інтеграл
В першу чергу, виділимо повний квадрат в знаменнику, після чого проведемо не складні алгебраїчні перетворення:
Тепер використаємо наступну підстановку
що дозволяє знайти
Додаючи обидва знайдених вирази, запишемо результат інтегрування
Використання комплексного розкладу
В деяких випадках зручніше використовувати комплексний розклад многочлена. Так, у наведеному вище прикладі:
Розкладаємо знаменник на два комплексні множники:
Після чого шукаємо розклад підінтегрального виразу на два доданки:
Вирішивши нескладну систему лінійних рівнянь, отримуємо:
Після інтегрування маємо:
Згрупуємо окремо дійсні та уявні доданки:
Як відомо, арктангенс комплексного змінного виражаеться через логарифм:
Це дає нам можливість переписати другий доданок через арктангенс:
Remove ads
В знаменнику многочлен другого степеня, зведений до цілого додатного степеня
Узагальнити
Перспектива
Розглянемо інтеграл
Так само, як це робилося вище, можна представити чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і взяти ту частину, котра містить вираз x − 4, за допомогою підстановки
Нам залишається лише знайти інтеграл
Як це робилося вище, спочатку виділимо повний квадрат, після цього зробимо нескладні математичні дії
Після цього можна використовувати підстановку:
Після чого інтеграл приймає вигляд
Декілька разів використовуючи формулу
можна спрощувати цей інтеграл, до поки підінтегральний вираз не буде мати cos θ в степені, більше ніж 1.
Далі варто виразити sin(θ) і cos(θ) як функції від x. Приймемо, що
і що тангенс = (протилежна сторона)/(прилегла сторона). Якщо «протилежна» сторона має довжину x − 4 і «прилегла» сторона має довжину 3, то згідно теоремі Піфагора гіпотенуза має довжину √((x − 4)2 + 32) = √(x2 −8x + 25).
Маємо
і
Remove ads
Див. також
Примітки
Джерела
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads