Рівняння Єфименка

В електромагнетизмі рівняння Єфименка, названі на честь Олега Єфименка, описують поведінку електричного та магнітного полів з точки зору розподілу зарядів і струмів у час запізнення.

Рівняння Єфименко є розв'язками рівнянь Максвелла для заданого розподілу зарядів і струмів за умови відсутності електромагнітного поля крім одного, створеного цими ж зарядами та струмами.

Рівняння

Електричні та магнітні поля

Вектори положення ${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle r'}$, використані в обрахунках

Рівняння Єфименка^[1] визначають електричне поле ${\displaystyle E}$ та магнітне поле ${\displaystyle B}$, створені зарядами та струмами довільного розподілу, при густині заряду ${\displaystyle \rho }$ та густині струму ${\displaystyle J}$^[2].

${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}+{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{2}c}}{\frac {\partial \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right)\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)-{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}$

${\displaystyle \mathbf {B} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}+{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\partial t}}\right]\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}$

Де ${\displaystyle r'}$ — точка розподілу заряду, ${\displaystyle r}$ — точка у просторі, та

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

— час запізнення.

Також існують аналогічні вирази для ${\displaystyle D}$ та ${\displaystyle H}$.

Ці рівняння залежать від часу узагальненнями законів Кулона та Біо-Савара в електродинаміці, які перш за все справедливі лише для електростатичних, магнітостатичних полів і постійних струмів.

Походження з запізнілих потенціалів

Рівняння Єфименко можуть бути виведені^[2] з запізнілих потенціалів ${\displaystyle \phi }$ та ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\\&\mathbf {A} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\end{aligned}}}$

що є розв'язками рівнянь Максвелла в потенціальній формі, займаючи місце у визначеннях електромагнітних потенціалів самих себе:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

і використавши співвідношення

${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$

заміняє потенціали ${\displaystyle \phi }$ та ${\displaystyle A}$ полями ${\displaystyle E}$ та ${\displaystyle B}$.