Рівняння ББГКІ

Рівняння Боголюбова-Борна-Гріна-Керквуда-Івона, скорочено ББГКІ — ієрархічний ланцюжок рівнянь для n-частинкових функцій розподілу класичної системи частинок, що використовується для опису рідин. Кожне з рівнянь ланцюжка отримується усередненням рівняння Ліувіля для функції розподілу всієї системи за координатами та імпульсами ${\displaystyle N-n}$ частинок, де N - число частинок в системі. Як наслідок, рівняння для n-частинкової функції розподілу містить член із (n+1)-частинковою функцією розподілу.

Формулювання

Функція розподілу системи N класичних частинок, що взаємодіють між собою, ${\displaystyle f_{N}(\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i},t)}$ визначена в 6N-вимірному фазовому просторі. Нехай частинки взаємодіють між собою попарно, і потенціал цієї взаємодії задається функцією ${\displaystyle V_{ij}(\mathbf {r} _{i},\mathbf {r} _{j})}$. Крім того, для загальності, на кожну з частинок може діяти зовнішня сила, потенціал якої задається функцією ${\displaystyle U_{ij}(\mathbf {r} _{i})}$. За теоремою Ліувіля функція розподілу задовольняє рівнянню:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial U_{i}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial V_{ij}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0.}$

Це рівняння можна проінтегрувати по змінних усіх частинок, крім однієї. Тоді в усіх його членах, крім члена з парною взаємодією, з'явиться одночастинкова функція розподілу, а член з парною взаємодією можна буде проінтегрувати по N-2 змінних. При цьому залишиться інтеграл від двочастинкової функції розподілу:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial t}}+{\dot {\mathbf {r} }}_{1}{\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {r} _{1}}}-{\frac {\partial U_{i}}{\partial \mathbf {r} _{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {p} _{1}}}=\left(N-1\right)\int {\frac {\partial V_{1,2}}{\partial \mathbf {r} _{1}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {p} _{1}}}\,d\mathbf {r} _{2}d\mathbf {p} _{2}.}$

Аналогічно, при інтегруванні по змінних усіх частинок, крім двох, вийде рівняння яке міститиме двочастинкову функцію розподілу й інтеграл від тричастинкової функції розподілу. В загальному випадку для n-частинкової функції розподілу:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{n}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}{\frac {\partial f_{n}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\sum _{i=1}^{n}\left(-{\frac {\partial U_{i}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial V_{ij}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{n}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\left(N-n\right)\int {\frac {\partial V_{i,n+1}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}{\frac {\partial f_{n+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {r} _{n+1}d\mathbf {p} _{n+1}.}$

Як наслідок виникає ланцюжок рівнянь, у яких n-частинкова функція розподілу зв'язана з (n+1)-частинковою функцією розподілу. Цей ланцюжок рівнянь точний, і розв'язувати його не легше, ніж знаходити розв'язок вихідного рівняння. Однак, зазвичай його обривають, роблячи припущення про залежність наступної функції розподілу від попередніх.

Історія

n-частинкові функції розподілу запровадив Жак Івон у 1935^[1]. 1945 року ієрархічний ланцюжок рівнянь отримав Микола Боголюбов^[2][3]. Джон Керквуд розглянув кінетичний транспорт в роботі^[4], поданій у журнал у жовтні 1945 і опублікованій у березні 1946, а також в наступних роботах^[5]. Макс Борн та Герберт Грін розглянули загальну кінетику рідин в статті, отриманій редакцією в лютому 1946 і опублікованій в грудні 1946^[6].