Рівняння Ейлера

Рівняння Ейлера описує потік ідеальної рідини.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} (\nabla \cdot \mathbf {v} )=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p}$,

де ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — швидкість рідини, ρ — її густина, p — тиск.

Ідеальною рідиною називається рідина, для якої неістотні процеси теплопровідності й в'язкості.

У випадку дії масових сил, наприклад, для рідини в полі тяжіння, рівняння Ейлера записується

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} (\nabla \cdot \mathbf {v} )=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} }$,

де ${\displaystyle \mathbf {g} }$ — прискорення вільного падіння.

Інші форми запису

Після певних перетворень рівняння Ейлера можна переписати в інших формах, які можуть бути зручними для певних випадків.

Враховуючи, що рівняння Ейлера описує адіабатний рух рідини, можна записати

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} (\nabla \cdot \mathbf {v} )=-\nabla w}$,

де w — ентальпія рідини.

Ще одна форма запису виділяє в рівнянні Ейлера вихор

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}-[\mathbf {v} \times {\text{rot}}\,\mathbf {v} ]=-\nabla \left(w+{\frac {v^{2}}{2}}\right)}$.

В наступній формі запису використовується тільки вектор швидкості

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\text{rot}}\,\mathbf {v} ={\text{rot}}[\mathbf {v} \times {\text{rot}}\,\mathbf {v} ]}$.

Рівняння неперервності

Для знаходження розподілу густини, швидкості та тиску в рідині (разом 5 невідомих) рівняння Ейлера слід доповнити рівнянням для густини та рівнянням для ентропії.

Для густини — це рівняння неперервності

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\text{div}}\,\rho \mathbf {v} =0.}$.

Величина ${\displaystyle \rho \mathbf {v} }$ називається потоком рідини.

Рівняння для ентропії:

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho s)}{\partial t}}+{\text{div}}\,(\rho s\mathbf {v} )=0.}$.

Із врахуванням рівняння Ейлера рівнянь кількість рівнянь (5) дорівнює кількості змінних.

Граничні умови

Рівняння Ейлера потрібно доповнити граничними умовами на поверхнях, де рідина стикається з твердою речовиною. Оскільки рідина не може проникнути в тверде тіло, то на поверхні нормальна складова її швидкості обов'язково повинна бути нульовою.

${\displaystyle v_{n}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} =0}$,

де ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — орт нормалі до поверхні.

На границі розділу двох рідин, які не змішуються, неперервними є тиск і нормальна складова швидкості.

Див. також

• Рівняння Нав'є-Стокса — загальні рівняння, які описують течію рідини чи газу з урахуванням в'язкості та передачі тепла.
• Формула Ейлера
• Формула Ейлера — Маклорена

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.
• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1988). Теоретическая физика. т. VI. Гидродинамика. Москва: Наука.