Середнє степеневе зважене

Середнє степеневе зважене — різновид середнього значення. Для набору додатних дійсних чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ з параметром ${\displaystyle q\neq 0}$ і невід'ємними вагами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ визначається як

${\displaystyle {\bar {x}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{1/q}}$.

Якщо ваги ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ нормовані до одиниці (тобто їх сума дорівнює одиниці), то вираз для середнього степеневого зваженого набуває вигляду

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$.

Властивості

• У тому випадку, коли всі ваги ${\displaystyle w_{i}}$ рівні між собою, середнє степеневе зважене дорівнює середньому степеневому.
• Середнє арифметичне зважене і середнє гармонійне зважене є окремими випадками середнього степеневого зваженого при відповідно ${\displaystyle q=1}$ і ${\displaystyle q=-1}$.
• У границі при ${\displaystyle q\to 0}$ середнє степеневе зважене збігається до середнього геометричного зваженого.

Зв'язок з ентропією Реньї

Інформаційну ентропію деякої системи можна визначити як логарифм числа доступних станів системи (або їх ефективної кількості, якщо стани не рівноймовірні). Врахуємо, що ймовірності ${\displaystyle p_{i}}$ перебування системи в стані з номером ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$) нормовані до ${\displaystyle 1}$. Якщо стани системи рівноймовірні і мають імовірність ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle N=1/p}$. У разі різних імовірностей станів ${\displaystyle p_{i}}$ визначимо ефективну кількість станів ${\displaystyle {\overline {N}}}$ як середнє степеневе зважене величин ${\displaystyle x_{i}=1/p_{i}}$ з вагами ${\displaystyle p_{i}}$ і параметром ${\displaystyle q=1-\alpha }$ (де ${\displaystyle \alpha \neq 1}$):

${\displaystyle {\overline {N}}=\left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}(1/p_{i})^{1-\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}=\left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

Звідси отримуємо вираз для ентропії

${\displaystyle H=\log {\overline {N}}=\log \left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }}$,

збігається з виразом для ентропії Реньї^[1]. Легко бачити, що в границі при ${\displaystyle \alpha \to 1}$ (або ${\displaystyle q\to 0}$) ентропія Реньї збігається до ентропії Шеннона (при тому, що середнє степеневе зважене — до середнього геометричного зваженого). За визначенням ентропії Реньї має виконуватися додаткове обмеження ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ (або ${\displaystyle q\leq 1}$).