Симпліційна категорія

Симпліційна категорія (також симплекс-категорія, ординальне категорія) — категорія непустих скінченних ординалів, морфізмами в якій є монотонні функції. Відіграє важливу роль в алгебричній топології ^[1], є основною для таких конструкцій, як симпліційні об'єкти і симпліційні множини.

Позначається ${\displaystyle \Delta }$, іноді — ${\displaystyle \mathbf {Ord} }$^[2].

Означення

Об'єктами симпліційної категорії ${\displaystyle \Delta }$ мають вид ${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\}}$, де ${\displaystyle n}$ — натуральне число, а морфізмами відображення ${\displaystyle f:[n]\to [n']}$ такі, що з ${\displaystyle i\leqslant j}$ випливає ${\displaystyle f(i)\leqslant f(j)}$. Іншими словами, об'єктами симпліційної категорії є скінченні порядкові числа, а морфізмами — нестрого монотонні функції між ними. Порядкове число ${\displaystyle [0]}$ є початковим об'єктом категорії, а ${\displaystyle [1]}$ — термінальним.

Властивості

Будь-який морфізм симпліційної категорії може бути породжений композицією морфізмів (${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$):

${\displaystyle \delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]}$,

${\displaystyle \sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]}$,

заданих як:

${\displaystyle \delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}}$ (зростаюче ін'єктивне відображення, що «пропускає» ${\displaystyle i}$),

${\displaystyle \sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}}$ (неспадне сюр'ективне відображення, що приймає значення ${\displaystyle i}$ двічі).

Більш того, для будь-якого ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])}$ існує єдине подання:

${\displaystyle f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n-s+1}\sigma _{j_{t}}^{m-t}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}}$,

де ${\displaystyle 0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n}$, ${\displaystyle 0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m}$, ${\displaystyle n=m-t+s}$.

Ці морфізми задовольняють співвідношення:

${\displaystyle \delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}}$, якщо ${\displaystyle i<j}$,

${\displaystyle \sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}}$, якщо ${\displaystyle i\leqslant j}$,

${\displaystyle \sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j-1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\Delta _{i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}}$

Дані співвідношення однозначно визначають морфізми ${\displaystyle \delta }$ і ${\displaystyle \sigma }$.

Пов'язані означення

Порядкове додавання  — біфунктор ${\displaystyle +:\Delta \times \Delta \to \Delta }$, заданий на порядкових числах як звичайне додавання:

${\displaystyle [n]+[n']=[n+n']}$,

а для морфізму ${\displaystyle f:[n]\to [n']}$ і ${\displaystyle g:[m]\to [m']}$ за наступною схемою:

${\displaystyle (f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(i-n),&n\leqslant i\leqslant n+m-1\end{cases}}}$.

Симпліційна категорія з порядковим додаванням утворює строго моноїдальну категорію.

У застосування також використовується поповнена симпліційна категорія (англ. augmented simplicial category) ${\displaystyle \Delta _{+}}$ — симпліційна категорія, доповнена ордіналом ${\displaystyle [-1]=\varnothing }$: ${\displaystyle \Delta _{+}=\Delta \cup [-1]}$. Іноді доповнену симпліційну категорію називають алгебричною симпліційною категорією, в цьому випадку ${\displaystyle \Delta }$ називають топологічною.

Геометричне представлення

Для об'єктів категорії ${\displaystyle \Delta }$існує геометричне представлення за допомогою коваріантного функтора ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n\}\to \Delta ^{n}}$ образами якого є стандартні симплекси рівні за означенням ${\displaystyle \Delta ^{n}=\{(t_{0},\dots t_{n})\mid {(\sum _{i}t_{i}=1)}\wedge {(\forall i\;t_{i}\geqslant 0)}\}}$і морфізм ${\displaystyle f_{*}:\Delta ^{n}\to \Delta ^{m}}$, породжений морфізмом ${\displaystyle f:[n]\to [m]}$задається як ${\displaystyle f_{*}(t_{0},\dots t_{n})=(s_{0},\dots s_{m}),\quad s_{j}=\sum _{f(i)=j}t_{i}.}$

Інакше кажучи, образом i-ї вершини ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ є ${\displaystyle f(i)}$-вершина симплекса ${\displaystyle \Delta ^{m}}$, а для всіх інших точок відображення продовжується лінійно по барицентричних координатах.

Тоді відображення ${\displaystyle d_{*}^{i}}$ переводить ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ у i-ту грань симплекса ${\displaystyle \Delta ^{n+1}}$, а ${\displaystyle s_{*}^{j}}$переводить ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ у ${\displaystyle \Delta ^{n-1}}$стискуючи j-ту і j+1 точки в одну точку.

Симпліційні і косимпліційні об'єкти

Симплектичним об'єктом категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ називається довільний контраваріантний функтор ${\displaystyle X:\Delta \to {\mathcal {C}}}$. Аналогічно коваріантний функтор ${\displaystyle X:\Delta \to {\mathcal {C}}}$ називається косимпліційним об'єктом.

Симпліційний об'єкт можна повністю задати визначивши для кожного ${\displaystyle n\geqslant 0}$ об'єкт ${\displaystyle X_{n}}$ (що називається n-м шаром, або n-ю компонентою симплектичного об'єкта ${\displaystyle X}$) і морфізми

${\displaystyle d_{i}=X(\delta _{i}):X_{n}\to X_{n-1}}$ (оператор граней)

${\displaystyle s_{i}=X(\sigma _{i}):X_{n}\to X_{n-1}}$ ((оператор виродження)).

Тоді симпліційний об'єкт можна ототожнити із системою ${\displaystyle \{X_{n},d_{i},s_{i}\}}$, де ${\displaystyle X_{n}}$ — об'єкти категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ і морфізми ${\displaystyle d_{i}:X_{i}\to i-1,\quad 0\leqslant i\leqslant n}$ і ${\displaystyle s_{i}:X_{i}\to i+1,\quad 0\leqslant i\leqslant n}$ задовольняють співвідношення:

${\displaystyle d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}}$, якщо ${\displaystyle i<j}$,

${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}}$, якщо ${\displaystyle i\leqslant j}$,

${\displaystyle d_{i}s_{j}={\begin{cases}s_{j-1}d_{i},&i<j\\{\mathsf {Id}},&i=j\,\vee \,i=j+1\\s_{j}d_{i-1},&i>j+1\end{cases}}}$.

За допомогою двоїстості у такий же спосіб можна задати і косимпліційні об'єкти.

Симпліційні відображення

Симпліційним відображенням ${\displaystyle f:X\to Y}$ (між двома симпліційними об'єктами однієї категорії) називається довільний морфізм функтора ${\displaystyle X:\Delta \to {\mathcal {C}}}$ в функтор ${\displaystyle Y:\Delta \to {\mathcal {C}}}$, тобто така система морфізмів ${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to Y_{n},\quad n\geqslant 0}$, для якої виконуються співвідношення

${\displaystyle d_{i}f_{n+1}=f_{n}d_{i}}$, для ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n+1}$,

${\displaystyle s_{i}f_{n}=f_{n+1}s_{i}}$, для ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$.

Симпліційною гомотопією ${\displaystyle h:f\simeq g}$ що зв'язує симпліційні ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ відображення симпліційних об'єктів категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, називається сім'я морфізмів ${\displaystyle h_{i}:X_{n}\to Y_{n+1},\quad 0\leqslant i\leqslant n}$ категорії, що задовольняють співвідношення:

${\displaystyle d_{0}f_{0}=f_{n}}$,

${\displaystyle d_{n}f_{n}=g_{n}}$,

${\displaystyle d_{i}h_{j}={\begin{cases}h_{j-1}d_{i},&i<j\\d_{j}h_{j-1},&i=j>0\\h_{j}d_{i-1},&i>j+1\end{cases}}}$,

${\displaystyle s_{i}h_{j}={\begin{cases}h_{j+1}s_{i},&i\leqslant j\\h_{j}s_{i-1},&i>j\end{cases}}}$.

${\displaystyle }$Симпліційні об'єкти категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ і їх симпліційні відображення утворюють категорію ${\displaystyle \Delta ^{\circ }{\mathcal {C}}}$. З введеними вище означеннями у цій категорії можна відтворити майже всю стандартну теорію гомотопій, що пояснює значення симпліційної категорії і симпліційних об'єктів в алгебричній топології.