Синтетичний контроль

Синтетичний контроль (англ. Synthetic control method, SCM) — економетричний метод аналізу даних у рамках причинно-наслідкової моделі Рубіна^[en], що дозволяє проводити каузальну інференцію^[en] в порівняльних кейс-стаді. Метод спрямований на оцінення результатів досліджуваного впливу (наприклад, економічної реформи) на прикладі невеликої кількості кейсів за допомогою моделювання їхніх кількісних показників у гіпотетичній ситуації, де впливу не було, на основі обмеженого кола схожих контрольних спостережень за допомогою присвоєння цим змінним певних ваг.

Порівняння реального добробуту жителів ФРН після об'єднання з НДР у 1990 та гіпотетичного, якби об'єднання не відбулося, з опорою на дані інших країн ОЕСР^[1].

Формальне виведення

Розглянемо ${\displaystyle i}$-й регіон, або якийсь інший об'єкт спостереження, причому ${\displaystyle i=1,\dots ,J+1}$, де ${\displaystyle J+1}$ — число регіонів, серед яких 1 зазнав досліджуваної дії, а інші ${\displaystyle J}$ — ні і є контрольною групою (їх сукупність називають «пулом донорів», англ. donor pool), за період часу ${\displaystyle t}$, де ${\displaystyle t=1,\dots ,T}$.

Нехай досліджувана дія відбулася в період ${\displaystyle T_{0}+1}$, де ${\displaystyle 1\leq T_{0}<T}$, і тоді ${\displaystyle T_{0}}$ — число періодів до дії. Позначимо відгук показника в регіоні ${\displaystyle i}$ в період часу ${\displaystyle t}$ за відсутності досліджуваної дії через ${\displaystyle Y_{it}^{N}}$, а за її наявності — ${\displaystyle Y_{it}^{I}}$. Припустимо, що за ${\displaystyle t=1\dots T_{0}}$, ${\displaystyle Y_{it}^{N}=Y_{it}^{I}}$: до настання досліджуваної дії, вона не впливає на відгук у вибраному регіоні. Також припустимо, що дія, яка мала місце в розглянутому регіоні, не впливає на регіони з контрольної групи. Ефект досліджуваної дії позначимо як ${\displaystyle a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}}$ . Оскільки дія має місце тільки в ${\displaystyle i=1}$ і ${\displaystyle t>T_{0}}$, метою синтетичного контролю є визначення ${\displaystyle a_{1t}=Y_{1t}^{I}-Y_{1t}^{N}}$, де ${\displaystyle Y_{1t}^{I}=Y_{1t}}$ — власне, показник, що спостерігається в розглянутому регіоні, а ${\displaystyle Y_{1t}^{N}}$ — неспостережуваний відгук, який можна подати як таку факторну модель:

${\displaystyle Y_{it}^{N}=\delta _{t}+{\boldsymbol {\theta }}_{t}\mathbf {Z} _{i}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}{\boldsymbol {\mu }}_{i}+\epsilon _{it},}$

де ${\displaystyle \delta _{t}}$ — загальний для всіх регіонів фактор, ${\displaystyle \mathbf {Z} _{i}}$ — вектор спостережуваних, незалежних від дії коваріат, ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{t}}$ — вектор їхніх оцінених для даної вибірки регіонів коефіцієнтів, ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{t}}$ — вектор неспостережуваних латентних факторів, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{i}}$ — вектор відповідних їм факторних навантажень і ${\displaystyle \epsilon _{it}}$ — специфічності, або шум. Цю модель можна переписати у вигляді:

${\displaystyle \sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}^{N}=\delta _{t}+{\boldsymbol {\theta }}_{t}\sum \limits _{j}w_{j}\mathbf {Z} _{i}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}\sum \limits _{j}w_{j}{\boldsymbol {\mu }}_{i}+\sum \limits _{j}w_{j}\epsilon _{it},}$

де ${\displaystyle w_{j}}$ — це ${\displaystyle j}$-те значення вектора ${\displaystyle \mathbf {W} =(w_{2},\dots ,w_{J+1})'}$, такого, що ${\displaystyle \forall j:w_{j}>0\land \sum \limits _{j}w_{j}=1}$. Метод синтетичного контролю полягає у підборі такого набору ваг ${\displaystyle ({\tilde {w}}_{2},\dots ,{\tilde {w}}_{J+1})'}$, що за ${\displaystyle t\leq T_{0}}$, ${\displaystyle \sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}=Y_{jt}}$ (тобто до дії ваги зберігають спостережуване значення відгуку незмінним) і ${\displaystyle \sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}\mathbf {Z} _{j}=\mathbf {Z} _{1}}$ (і при цьому ці ваги дозволяють точно моделювати коваріати регіону, що розглядається, через кваріати регіонів контрольної групи). У літературі показано, що, якщо відхилення специфічностей ${\displaystyle \epsilon _{it}}$ незначні за даного ${\displaystyle T_{0}}$, розміру періоду до дії, ${\displaystyle Y_{1t}^{N}-\sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}\to 0}$, тобто різниця між модельованим, неспостережуваним відгуком без дії і зваженим, але спостережуваним за його присутності, в таких умовах мізерна. Відповідно, пропонується така оцінка ефекту дії (${\displaystyle a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}}$)^[2]:494-495:

${\displaystyle {\hat {a}}_{1t}=Y_{1t}-\sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}}$

Оптимізація алгоритму

З обчислювальної точки зору, розрахунок шуканих ваг пов'язаний із мінімізацією за вектором ваг ${\displaystyle \mathbf {W} }$ норми ${\displaystyle \|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} \|}$, де ${\displaystyle \mathbf {X} _{1}}$ — вектор значень коваріатів для досліджуваного регіону до моменту ${\displaystyle T_{0}+1}$, а ${\displaystyle \mathbf {X} _{0}}$ — матриця значень коваріатів для контрольних регіонів. Незалежно від вибору дослідником додатноозначеної матриці ${\displaystyle \mathbf {V} }$, оптимізована норма розкривається як ${\displaystyle \|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} \|_{\mathbf {V} }={\sqrt {(\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} )'\mathbf {V} (\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} )}}}$^[2]:496.

Для того, щоб отримати кінцеве значення ${\displaystyle \mathbf {V} }$, проводять зовнішню оптимізацію за параметром ${\displaystyle \mathbf {V} }$ з використанням коефіцієнта дисконтування ${\displaystyle \beta }$, що підвищує вагу недавніх спостережень Цю оптимізацію можна описати так: ${\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{T}\beta ^{T-t}\left(Y_{1t}-\sum \limits _{j=2}^{J+1}{\tilde {W}}_{j}(V)Y_{jt}\right)^{2}\to min}$, де ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {W} }}}$ — вектор мінімальних ваг, отриманий на попередньому етапі^[3]:616.

Статистична значущість результатів

Визначення статистичної значущості одержаних оцінок можна провести різними способами. У статті 2003 року, що оцінює вплив тероризму та інших проявів політичного насильства на економіку Країни Басків, розрахований ефект піддали так званому плацебо-тесту (placebo test), що полягав у застосуванні ідентичного алгоритму синтетичного контролю до Каталонії, яка також відома значним сепаратистським рухом, але не мала проблем, пов'язаних із терористичними проявами цього руху^[4].

Плацебо-тести в літературі, яка використовує метод синтетичного контролю, є прикладом непараметричних пермутаційних тестів. Моделювання синтетичного відгуку для всіх контрольних кейсів у вибірці дозволяє в явному вигляді працювати з імовірнісним розподілом і перевіряти нульову гіпотезу про відсутність казуальних ефектів у кейсі. При цьому немає необхідності асимптотично наближати розподіл цих ефектів у контрольних кейсів до того чи іншого розподілу, що робить тести подібного типу пермутаційними^[5].

Синтетичний контроль як метод передбачення

У літературі запропоновано використовувати синтетичний контроль не лише для оцінки причинно-наслідкових зв'язків, але й для побудови прогнозів. У рамках пілотного дослідження була спроба спрогнозувати економічне зростання в США, однак «пул донорів», використовуваний для отримання ваг, складався вже не з країн зі схожими характеристиками, а з показників економічного зростання з певним часовим лагом^[3]:616.

Синтетичний контроль та інші методи

Синтетичний контроль поєднує елементи інших каузальних статистичних методів: різниці різниць^[en] і метчингу^[en].

У порівнянні з різницею різниць синтетичний контроль пропонує упорядкованішу процедуру підбору ваг для спостережень із контрольної групи, використовує більший часовий проміжок перед дією і вимагає в ході підбору ваг максимально можливого наближення характеристик контрольної групи до характеристик досліджуваного об'єкта.

Метод синтетичного контролю має низку спільних рис із лінійною регресією. Так і синтетичний контроль, і регресійний аналіз припускають лінійну комбінацію ваг і змінних (в останньому ваги, як правило, називають регресійними коефіцієнтами), причому сума ваг дорівнює 1. Основною відмінністю є те, що в синтетичному контролі значення цих ваг належать ${\displaystyle [0,~1]}$, тоді як у регресійному аналізі такого обмеження немає і коефіцієнти практично не інтерпретуються як ваги^[1]:498-499. Так контрфактуальну Німеччину з дослідження 2015 року^[1] «синтезовано» на підставі подушного ВВП, рівня інвестицій, торговельної відкритості, кількості шкіл і частки промисловості в доданому продукті Австрії (42 %), США (22 %), Японії (16 %), Швейцарії (11 %) і Нідерландів (9 %)^[6].

Симуляції показали, що панельний метод Сяо (фіксовані ефекти з ефектами взаємодії) для дослідження каузальних ефектів є менш робастним до зміни в пулі донорів, ніж синтетичний контроль, хоча використання обох підходів дає задовільні результати. Зазначалося, що синтетичний контроль є кращим, якщо дослідник має дані за додаткові часові періоди^[7]:1001[8].

Застосування

Галузь застосування методу синтетичного контролю охоплює дослідження політики у сфері охорони здоров'я^[9], кримінологія^[10], політичну науку^[1], різні розділи економіки.

У політології синтетичний контроль розглядається як компроміс між конвенціональними кількісними і якісними методами, що дозволяє поєднувати фокус на одному або декількох кейсах зі строгими критеріями їх підбору. За допомогою цього методу вивчалися: об'єднання Німеччини для власне ФРН^[1], наслідки федеративної реформи в Бельгії для витрат на соціальне забезпечення^[11].

У географії синтетичний контроль використовують у дослідженнях антропогенних ландшафтів (у рамках розгляду земельних систем^[en])^[12]:513.

У статистичних пакунках

Існують пакунки статистичного програмного забезпечення для аналізу даних за допомогою методу синтетичного контролю. Для мови R розроблено пакунок Synth^[13].

Див. також

• Метод інструментальних змінних