Синусоїдальна спіраль

Синусоїда́льна спіра́ль — сімейство плоских кривих, які визначаються класом рівнянь у полярних координатах

${\displaystyle \displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\varphi ),}$

Синусоїдальна спіраль (червоні лінії) при ${\displaystyle n=2{,}5}$ (суцільна) і ${\displaystyle n=-2{,}5}$ (пунктир).

де ${\displaystyle a}$ — ненульова константа і ${\displaystyle n}$ — раціональне число, не рівне нулю.

З урахуванням можливості повороту кривої відносно початку координат рівняння також може бути записане у вигляді

${\displaystyle \displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\varphi ).}$

Використання терміна «спіраль» в даному випадку не є точним, оскільки одержувані криві за формою більше нагадують квітку.

Історія

Вперше вивчена Маклореном.

Окремі випадки

Багато відомих криві є частковими випадками синусоїдальної спіралі:

• Пряма при ${\displaystyle n=-1}$;
• Коло при ${\displaystyle n=1}$;
• Гіпербола при ${\displaystyle n=-2}$;
• Лемніската Бернуллі при ${\displaystyle n=2}$;
• Парабола при ${\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}}$;
• Кардіоїда при ${\displaystyle \textstyle n={\frac {1}{2}}}$;
• Логарифмічна спіраль при ${\displaystyle n\to 0}$;
• Кубика Чирнгауза при ${\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{3}}}$.

Див. також

• Крива Рибокура^[ru] — узагальнення за виглядом рівняння
• Троянда (плоска крива)
• Спіраль

Посилання

• Стаття на сайті 2dcurves.com (англ.). Архів оригіналу за 9 квітня 2012. Процитовано 19-03-2011.
• The MacTutor History of Mathematics (англ.). Архів оригіналу за 9 квітня 2012. Процитовано 19-03-2011.
• The Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Архів оригіналу за 9 квітня 2012. Процитовано 19-03-2011.
• Wolfram MathWorld (англ.). Процитовано 19-03-2011.