Скалярна проєкція

У математиці, скалярна проєкція вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на вектор ${\displaystyle \mathbf {b} }$, яка також називається скалярним компонентом вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ по напрямку вектора ${\displaystyle \mathbf {b} }$, задається у вигляді:

${\displaystyle s=|\mathbf {a} |\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,}$

Якщо кут 0° ≤ θ ≤ 90°, то скалярна проєкція a на b збігається з довжиною проєкції вектора.

Векторна проєкція a на b (a₁), вектор відхилення a від b (a₂).

де оператор ${\displaystyle \cdot }$ позначає скалярний добуток, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$ — це одиничний вектор по напрямку ${\displaystyle \mathbf {b} }$, ${\displaystyle |\mathbf {a} |}$ — це довжина вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$, і ${\displaystyle \theta }$ — кут між ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Скалярна проєкція — це скаляр, значення якого дорівнює евклідовій нормі ортогональної проєкції вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на ${\displaystyle \mathbf {b} }$, і береться зі знаком мінус, якщо проєкція має протилежний напрямок відносно напрямку вектора ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Вектор, отриманий як добуток скалярної проєкції ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на ${\displaystyle \mathbf {b} }$ на одиничний вектор ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$ називається векторною проєкцією ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Визначення засноване на куті θ

Якщо відомий кут ${\displaystyle \theta }$ між векторами ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$, то скалярна проєкція ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на ${\displaystyle \mathbf {b} }$ може бути розрахована з використанням такого виразу

${\displaystyle s=|\mathbf {a} |\cos \theta .}$

Визначення в термінах a і b

Якщо кут ${\displaystyle \theta }$ не відомий, косинус ${\displaystyle \theta }$ може бути розрахований через вектори ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$, використовуючи таку властивість скалярного добутку ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}=\cos \theta \,}$

Згідно з цією властивістю, визначення скалярної проєкції ${\displaystyle s\,}$ буде виглядати таким чином:

${\displaystyle s=|\mathbf {a} |\cos \theta =|\mathbf {a} |{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\,}$

Властивості

Скалярна проєкція матиме негативний знак, якщо ${\displaystyle 90<\theta \leqslant 180}$ градусів. Це збігається з відповідною векторною проєкцією евклідової норми, якщо кут менший за 90°. Більш конкретно, якщо векторна проєкція позначається як ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ а її довжина ${\displaystyle |\mathbf {a} _{1}|}$:

${\displaystyle s=|\mathbf {a} _{1}|,}$ якщо ${\displaystyle 0<\theta \leqslant 90}$ градусів,

${\displaystyle s=-|\mathbf {a} _{1}|,}$ якщо ${\displaystyle 90<\theta \leqslant 180}$ градусів.

Див. також

• Скалярний добуток
• Векторний добуток
• Проєкція вектора