Скелетний розклад матриці

Скелетний розклад матриці (англ. rank factorization) — представлення матриці ${\displaystyle A}$ розміру ${\displaystyle m\times n}$ і рангу ${\displaystyle r(r\leq \min(m,n))}$ у вигляді добутку матриць ${\displaystyle B}$ та ${\displaystyle C}$ розмірів відповідно ${\displaystyle m\times r}$ та ${\displaystyle r\times n}$.

Розклад матриці ${\displaystyle A^{m\times n}=B^{m\times r}\cdot C^{r\times n}}$

${\displaystyle A=BC\quad (A\in \mathbb {F} ^{m\times n},\quad B\in \mathbb {F} ^{m\times r},\quad C\in \mathbb {F} ^{r\times n})}$.

Існування

Оскільки ${\displaystyle r}$ ранг матриці ${\displaystyle A}$, то він є і рангом векторного простору її вектор-стовпців. Тоді візьмемо за базис цього простору перші ${\displaystyle r}$ лінійно-незалежних стовпців матриці ${\displaystyle A}$. Вони і складуть матрицю ${\displaystyle B}$.

А оскільки всі стовпці матриці ${\displaystyle A}$ лінійно виражаються через ці стовпці (тобто матрицю ${\displaystyle B}$), то коефіцієнти розкладу і утворять матрицю ${\displaystyle C}$.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)