Скінченні різниці

Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.

Права, ліва та центральна різниця

Права різниця — вираз виду:

${\displaystyle \ \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$

Ліва різниця — вираз виду:

${\displaystyle \ \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).}$

Центральна різниця — вираз виду:

${\displaystyle \ \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).}$

Зв'язок з похідною

Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці

${\displaystyle \ f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}$

Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора.

Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:

${\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0).}$

${\displaystyle \ {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h).}$

${\displaystyle \ {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).}$

Різниці вищих порядків

Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах ${\displaystyle f'(x+h/2)}$ та ${\displaystyle f'(x-h/2)}$ для апроксимації другої похідної ${\displaystyle f}$ в точці x, отримаємо:

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці n-того порядку виражаються формулами:

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),}$

${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}$

${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}$

Для непарних ${\displaystyle n}$, коефіцієнт перед ${\displaystyle h}$ буде не цілим. Це часом є проблемою, оскільки ${\displaystyle h}$ є інтервалом дискретизації. Для вирішення проблеми використовують середнє від ${\displaystyle \delta ^{n}[f](x-h/2)}$ та ${\displaystyle \delta ^{n}[f](x+h/2)}$.

Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:

${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)}$ ${\displaystyle ={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)}$ ${\displaystyle ={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)}$ ${\displaystyle ={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2}).}$

Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$

апроксимує f'(x) з точністю до h². Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.

Див. також

• Коефіцієнт скінченних різниць