Спектральна теорія графів

У математиці спектральна теорія графів — це вивчення властивостей графів характеристичних многочленів, власних векторів і власних значень матриць, пов'язаних з графом, таких, як його матриця суміжності або матриця Кірхгофа.

Неорієнтований граф

Неорієнтований граф має симетричну матрицю суміжності, а тому має дійсні власні значення (мультимножина яких називається спектром графу) і повну множину власних векторів.

Тоді як матриця суміжності графу залежить від нумерації вершин, його спектр є інваріантом графу.

Спектральна теорія графів займається також параметрами, які визначають множенням власних значень матриць, пов'язаних з графом, таких, як число Колен де Вердьєра.

Ізоспектральні графи

Два графи називають ізоспектральними^[en] або коспектральними, якщо матриці суміжності графів мають однакові мультимножини власних значень.

Ізоспектральні графи не обов'язково ізоморфні, але ізоморфні графи завжди ізоспектральні. Мінімальна пара неізоморфних коспектральних неорієнтованих графів — ${\displaystyle \{K_{1,4},C_{4}\cup K_{1}\}}$, тобто зірка з п'ятьма вершинами і об'єднання циклу з 4 вершинами і графу, що складається з єдиної вершини, що показали Коллац і Сінговіч^[1][2] 1957 року. Найменша пара неізоморфних коспектральних поліедральних графів — два еннеаедри з вісьмома вершинами в кожному^[3].

Майже всі дерева коспектральні, тобто частка коспектральних дерев з n вершинами прямує до 1 при зростанні n^[4].

Ізоспектральні графи конструюють за допомогою методу Сунада^[5].

Нерівність Чігера

Знаменита нерівність Чіґера з ріманової геометрії має дискретний аналог, який використовує матрицю Кірхгофа. Можливо, це найважливіша теорема в спектральній теорії графів і один з найкорисніших фактів у алгоритмічних застосуваннях. Нерівність оцінює найменший розріз графу за допомогою другого власного значення матриці Кірхгофа.

Стала Чіґера

Докладніше: Стала Чіґера (теорія графів)

Стала Чіґера (або число Чіґера) графа — це числова міра того, що граф має «вузьке місце». Стала Чіґера як міра наявності «вузького місця» становить великий інтерес у багатьох галузях, наприклад, під час побудови сильно зв'язаних комп'ютерних мереж, тасуванні карт і топології низьких розмірностей^[en] (зокрема, під час вивчення гіперболічних 3-многовидів).

Формально, стала Чіґера h(G) графу G з n вершинами визначається, як

: ${\displaystyle h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}},}$

де мінімум береться за всіма непорожніми множинами S з максимум n/2 вершинами і ∂ (S) — реберна межа множини S, тобто множина ребер, що мають рівно одну кінцеву вершину в S^[6].

Нерівність Чіґера

Якщо граф G є d-регулярним, існує зв'язок між h(G) і спектральним проміжком d — λ2 графу G. Нерівність Чіґера досліджували Таннер, Алон і Мільман^[7]. Нерівність стверджує, що^[8]:

: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}.}$

Ця нерівність тісно пов'язана з границею границею Чіґера^[en] для ланцюгів Маркова і її можна розглядати як дискретну версію нерівності Чіґера в рімановій геометрії.

Історичний нарис

Спектральна теорія графів виникла в 1950-60-х роках. Крім теоретичних досліджень графів про зв'язок структурних і спектральних властивостей графів, іншим джерелом стали дослідження в квантовій хімії, але зв'язок цих двох напрямків з'ясовано значно пізніше^[9]. Монографія 1980 року «Спектри графів» (Spectra of Graphs)^[10] Цвєтковича, Дооба і Сакса (Cvetković, Michael Doob, Sachs) узагальнила майже всі дослідження в цій галузі, відомі на той час. 1988 року вийшов оновлений огляд «Останні дослідження в теорії спектра графу»^[11]. Третє видання книги «Спектри графів» (1995) містить підсумки подальших робіт у цій галузі^[9].

Див. також

• Алгебрична зв'язність
• Алгебрична теорія графів
• Спектральна кластеризація
• Індекс Естрада^[en]
• Число Ловаса^[ru]
• Збільшувач (теорія графів)
• Квантовий граф