Кубічний сплайн

Кубічний сплайн — гладка функція, область визначення якої розбито на скінченне число відрізків, на кожному з яких вона збігається з деяким кубічним многочленом.

Опис

Функція ${\displaystyle f(x)}$ задано на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, розбитому на частини ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$, ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b}$. Кубічним сплайном дефекту 1 (різниця між степенем і гладкістю сплайна) називається функція ${\displaystyle S(x)}$, яка:

• на кожному відрізку ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ є многочленом степеня не вище від трьох;
• має неперервні першу і другу похідні на всьому відрізку ${\displaystyle [a,b]}$;
• в точках ${\displaystyle x_{i}}$ виконується рівність ${\displaystyle S(x_{i})=f(x_{i})}$, тобто сплайн ${\displaystyle S(x)}$ інтерполює функцію ${\displaystyle f}$в точках ${\displaystyle x_{i}}$.

Для однозначного задання сплайна перелічених умов недостатньо, для побудови сплайна необхідно накласти додаткові вимоги — граничні умови:

1. «Природний сплайн» — граничні умови виду: ${\displaystyle S''(a)=S''(b)=0}$;
2. Неперервність другої похідної — граничні умови виду: ${\displaystyle S'''(a)=S'''(b)=0}$;
3. Періодичний сплайн — граничні умови виду: ${\displaystyle S'(a)=S'(b)}$і ${\displaystyle S''(a)=S''(b)}$.

Теорема. Для будь-якої функції ${\displaystyle f}$ і будь-якого розбиття відрізка ${\displaystyle [a,b]}$ на частини ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$існує рівно один природний сплайн ${\displaystyle S_{i}(x)}$, що задовольняє переліченим вище умовам.

Ця теорема є наслідком загальнішої теореми Шенберга — Вітні про умови існування інтерполяційного сплайна.

Побудова

На кожному відрізку ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}],\ i={\overline {1,N}}}$ функція ${\displaystyle S(x)}$ є многочленом третього степеня ${\displaystyle S_{i}(x)}$, коефіцієнти якого треба визначити. Запишемо для зручності ${\displaystyle S_{i}(x)}$ у вигляді:

${\displaystyle S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_{i}}(x-x_{i})^{3}}$

тоді

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N}}.}$

Умови неперервності всіх похідних до другого порядку включно записуються у вигляді

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),}$

${\displaystyle S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),}$

${\displaystyle S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),}$

де ${\displaystyle i}$ змінюється від ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle N,}$ а умови інтерполяції у вигляді

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).}$

Позначимо${\displaystyle$ :\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N}}),\quad f_{i}=f(x_{i})\quad (i={\overline {0,N}})}

Звідси отримуємо формули для обчислення коефіцієнтів «природного сплайна»:

${\displaystyle a_{i}=f(x_{i})}$;

${\displaystyle d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}}$;

${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}+{\frac {2\cdot c_{i}+c_{i-1}}{3}}\cdot h_{i}}$;

${\displaystyle c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}\right)}$,

причому ${\displaystyle c_{N}=S''(x_{N})=0}$ і ${\displaystyle c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0}$.

Якщо врахувати, що ${\displaystyle c_{0}=c_{N}=0}$, то ${\displaystyle c}$ можна обчислити методом прогонки для тридіагональної матриці.