Стала простих чисел

Ста́ла прости́х чи́сел — це дійсне число ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle n}$-та двійкова цифра якого дорівнює 1, якщо ${\displaystyle n}$ є простим, і 0, якщо n — складене або 1.

Стала простих чисел
Числове значення	0,414682509851
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Іншими словами, ${\displaystyle \rho }$ є просто числом, двійковий розклад якого відповідає індикаторній функції множини простих чисел. Тобто

${\displaystyle \rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}}$

де ${\displaystyle p}$ означає просте число, а ${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$ є характеристичною функцією простих чисел.

Початкові знаки десяткового подання числа ρ: ${\displaystyle \rho =0{,}414682509851111660248109622\ldots }$ (послідовність A051006 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Початкові знаки двійкового подання: ${\displaystyle \rho =0{,}011010100010100010100010000\ldots _{2}}$ (послідовність A010051 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Ірраціональність

Легко показати, що число ${\displaystyle \rho }$ ірраціональне^[1]. Щоб побачити це, припустимо, що воно раціональне.

Позначимо ${\displaystyle k}$-й знак двійкового подання ${\displaystyle \rho }$ через ${\displaystyle r_{k}}$. Тоді, оскільки ${\displaystyle \rho }$ за припущенням раціональне, повинні існувати додатні числа ${\displaystyle N}$ і ${\displaystyle k}$, такі, що ${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}$ для всіх ${\displaystyle n>N}$ і всіх ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$.

Оскільки простих чисел нескінченно багато, ми можемо вибрати просте ${\displaystyle p>N}$. За визначенням ми знаємо, що ${\displaystyle r_{p}=1}$. Як було зазначено вище, має виконуватися ${\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}$ для будь-якого ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$. Розглянемо випадок ${\displaystyle i=p}$. Ми маємо ${\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}$, оскільки ${\displaystyle p(k+1)}$ складене, бо ${\displaystyle k+1\geq 2}$. Оскільки ${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}$, ми маємо констатувати, що ${\displaystyle \rho }$ — ірраціональне.