Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці

Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці — теорія збурень, де гамільтоніан не залежить від часу. Теорія запропонована Шредінгером в 1926 році. Теорія може бути застосована для досить слабких збурень: ${\displaystyle H=H_{0}+\lambda H_{1}}$, при цьому параметр ${\displaystyle \lambda }$ повинен бути настільки маленьким, щоб збурення не дуже спотворювало незбурений спектр ${\displaystyle H^{0}}$^[1].

Невироджений спектр

В теорії збурень рішення представляється у вигляді розкладання

${\displaystyle |n\rangle =|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +...,}$

${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+...}$

Звичайно, має бути вірне Рівняння Шредінгера:

${\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Підставляючи розкладання в це рівняння, отримаємо

${\displaystyle (H_{0}+\lambda H_{1})(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +...)=}$

${\displaystyle (E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+...)(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +...)}$

Збираючи складові однакового порядку по ${\displaystyle \lambda }$, отримаємо послідовності рівнянь

${\displaystyle H_{0}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{0}\rangle ,}$

${\displaystyle H_{0}|n^{1}\rangle +H_{1}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{1}\rangle +E_{n}^{1}|n^{0}\rangle ,}$

${\displaystyle H_{0}|n^{2}\rangle +H_{1}|n^{1}\rangle =E_{n}^{0}|n^{2}\rangle +E_{n}^{1}|n^{1}\rangle +E_{n}^{2}|n^{0}\rangle .}$

і т. д. Ці рівняння повинні вирішуватися послідовно для отримання ${\displaystyle E_{n}^{k}}$ и ${\displaystyle n^{k}}$. Доданок з індексом ${\displaystyle k=0}$ — це рішення для незбуреного рівняння Шредінгера, тому й говорять також про «наближення нульового порядку». Аналогічно кажуть про «наближення k-го порядку», якщо розраховують рішення до доданків ${\displaystyle E_{n}^{k}}$ і ${\displaystyle n^{k}}$.

З другого рівняння отримуємо, що можна визначати однозначно рішення для ${\displaystyle n^{1}}$ тільки з додатковими умовами, так як кожна лінійна комбінація ${\displaystyle n^{1}}$ і ${\displaystyle n^{0}}$ є рішенням. Виникає питання про нормалізацію. Ми можемо припустити, що ${\displaystyle \langle n^{0}|n^{0}\rangle =1}$, але в той же час з нормування точного рішення слід ${\displaystyle \langle n|n\rangle =1}$. Тоді в першому порядку (по параметру λ) для умови нормування потрібно покласти ${\displaystyle \langle n^{0}|n^{1}\rangle +\langle n^{1}|n^{0}\rangle =0}$. Оскільки вибір фази в квантовій механіці довільний, можна без втрати спільності сказати, що число ${\displaystyle \langle n^{0}|n\rangle }$ дійсне. Тому ${\displaystyle \langle n^{0}|n^{1}\rangle =-\langle n^{0}|n^{1}\rangle }$, і, як наслідок, накладається додаткова умова що набуде вигляду:

${\displaystyle \langle n^{0}|n^{1}\rangle =0.}$

Так як необурений стан ${\displaystyle n^{0}}$ повинен бути нормований, відразу слід

${\displaystyle \lambda \langle n^{0}|n^{1}\rangle +\lambda ^{2}\langle n^{0}|n^{2}\rangle +\lambda ^{3}\langle n^{0}|n^{3}\rangle +\ldots =0}$

і з цього

${\displaystyle \langle n^{0}|n^{k}\rangle =\delta _{0k}.}$

Отримуємо поправку в першому порядку

${\displaystyle E_{n}^{1}=\langle n^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle ,}$

${\displaystyle |n^{1}\rangle =\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle }{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}|m^{0}\rangle ,}$

і для поправки енергії в другому порядку

${\displaystyle E_{n}^{2}=\sum _{m\neq n}{\frac {|\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle |^{2}}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}.}$