Степенева асоціативність

Степенева асоціативність — одна з ослаблених форм асоціативності, використовується в абстрактній алгебрі.

Алгебрична структура називається степенево-асоціативною відносно бінарної операції ${\displaystyle *}$ якщо її підсистема породжена довільним елементом є асоціативною відносно ${\displaystyle *}$.

Тобто, якщо довільний елемент ${\displaystyle x}$ множиться на себе декілька разів, то результат не залежить від порядку операцій.

Тому можливо ввести нотацію піднесення до степеня:

${\displaystyle x^{1}=x,\quad x^{n+1}=x^{n}*x}$

без уточнення правил виконання операції.

Ця умова сильніша за ${\displaystyle \forall x:\;(xx)x=x(xx)}$, але слабша за асоціативність.

Наприклад:

• всі 5 варіантів четвертого степеня ${\displaystyle ((xx)x)x=(x(xx))x=x((xx)x)=x(x(xx))=(xx)(xx)}$.
• всі варіанти четвертого степеня записані рекурсивно: ${\displaystyle x^{3}x=xx^{3}=x^{2}x^{2}}$.

Інша ослаблена форма асоціативності — альтернативність; вона є сильнішою за степеневу асоціативність тільки при деяких додаткових обмеженнях.

Джерела

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)