Степінь многочлена

Степінь многочлена — це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.

Приклади

• Многочлен ${\displaystyle \ 3-5x+2x^{5}-7x^{9}}$ має степінь 9.
• Многочлен ${\displaystyle \ (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ має степінь 3.
• Многочлен ${\displaystyle \ (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ має степінь 5.

Щоб визначити степінь многочлена, його потрібно звести до канонічного вигляду, тобто розкрити всі дужки у виразі та звести подібні члени, тобто знайти суму коефіцієнтів при членах однакового степеня. Зазвичай (але не обов'язково) члени також впорядковуються за спаданням степенів. Наприклад, зведемо до канонічного вигляду вищенаведені многочлени:

• для ${\displaystyle 3-5x+2x^{5}-7x^{9}}$ після зміни порядку матимемо ${\displaystyle -7x^{9}+2x^{5}-5x+3}$;
• для ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ після розкриття дужок та зведення членів з однаковим степенем матимемо ${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$;
• для ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ два подібні члени степеня 8 зникають, маємо ${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$.

Поведінка при додаванні, відніманні та множенні

Степінь суми (або різниці) двох многочленів або дорівнює найбільшому із степенів доданків, або менший від нього у випадку, коли члени з найбільшими степенями зникають.

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))}$.

${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))}$.

Наприклад:

• Степінь ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$ дорівнює 3.

Зауважте, що 3 ≤ max(3,2)

• Степінь ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$ дорівнює 2.

Зауважте, що 2 ≤ max(3,3)

Степінь добутку двох многочленів дорівнює сумі їхніх степенів

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$.

Наприклад:

• Степінь ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$ дорівнює 3+2 = 5.

Степінь нульового многочлена

Многочлен ${\displaystyle f(x)=0}$ називають нульовим многочленом. Він не має жодного члена, тому, строго кажучи, він не має степеня. Вищенаведені правила про степені сум та добутків не можна застосовувати, якщо один з многочленів є нульовим.

Однак є зручним визначити степінь нульового многочлена як мінус нескінченність, ${\displaystyle -\infty }$, і домовитися, що

${\displaystyle \ \max(a,-\infty )=a}$,

і

${\displaystyle \ a+-\infty =-\infty }$.

Наприклад:

• Степінь суми ${\displaystyle \ (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$ дорівнює 3.

Зауважте, що ${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$.

• Степінь різниці ${\displaystyle \ x-x=0}$ дорівнює ${\displaystyle -\infty }$.

Зауважте, що ${\displaystyle \ -\infty \leq \max(1,1)}$.

• Степінь добутку ${\displaystyle \ (0)(x^{2}+1)=0}$ дорівнює ${\displaystyle \ (-\infty )+2=-\infty }$.

Узагальнення на випадок многочленів з кількома змінними

Для многочленів з кількома змінними степінь члена визначається як сума степенів змінних, що входять до цього члена; тоді степінь многочлена знову-таки визначається як максимум із степенів всіх його членів. Наприклад, многочлен ${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y}$ має степінь 4 - це степінь члена ${\displaystyle x^{2}y^{2}}$.

Формули для степенів суми, різності й добутку многочленів залишаються справедливими для многочленів з кількома змінними.

Назви многочленів за степенем

• Степінь 1 - лінійний многочлен
• Степінь 2 - квадратичний многочлен
• Степінь 3 - кубічний многочлен

Джерела

• Степінь - Орфографічний академічний словник української мови