Стереотипний простір

У функціональному аналізі та пов'язаних галузях математики стереотипні простори є класом топологічних векторних просторів, що виділяється деякою спеціальною умовою рефлексивності. Цей клас має серією чудових властивостей, зокрема, він досить широкий (наприклад, містить всі простори Фреше, і тому все банахові простори), він складається з просторів, підпорядкованих певній умові повноти, і утворює замкнуту моноїдальную категорію зі стандартними аналітичними засобами побудови нових просторів, такими як перехід до замкнутого підпростору, фактор-простором, проєктивній і ін'єктивній границі, простору операторів, тензорним добуткам тощо.

Категорія стереотипних просторів

Клас Ste стереотипних просторів утворює категорію з лінійними неперервними відображеннями морфізмами і має такі властивості:^[1][2]

• Ste — предабелева категорія;
• Ste — повна і коповна категорія;
• Ste — автодуальна категорія відносно функтора ${\displaystyle X\mapsto X^{\star }}$ переходу до спряженого простору;
• Ste — категорія з вузловим розкладом: будь-який морфізм ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$ має розклад ${\displaystyle \varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi }$, у якому ${\displaystyle \pi }$ — строгий епіморфізм, ${\displaystyle \beta }$ — біморфізм, а ${\displaystyle \sigma }$ — строгий мономорфізм.

Для будь-яких двох стереотипних просторів ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ стереотипний простір операторів ${\displaystyle Y\oslash X}$ з ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ означається як псевдонасичення простору ${\displaystyle {\text{L}}(X,Y)}$ всіх лінійних неперервних відображень ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$, наділеного топологією рівномірної збіжності на цілком обмежених множинах. Простір ${\displaystyle Y\oslash X}$ стереотипний. З його допомогою означаються два природних тензорних добутки в Ste:

${\displaystyle X\circledast Y:=(Y^{\star }\oslash X)^{\star },}$

${\displaystyle X\odot Y:=Y\oslash X^{\star }.}$

Теорема. В категорії Ste виконуються наступні природні тотожності:^[1][3]:

${\displaystyle \mathbb {C} \circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle \mathbb {C} \odot X\cong X\cong X\odot \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle X\circledast Y\cong Y\circledast X,}$

${\displaystyle X\odot Y\cong Y\odot X,}$

${\displaystyle (X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),}$

${\displaystyle (X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),}$

${\displaystyle (X\circledast Y)^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },}$

${\displaystyle (X\odot Y)^{\star }\cong Y^{\star }\circledast X^{\star },}$

${\displaystyle X\oslash Y\cong Y^{\star }\oslash X^{\star },}$

${\displaystyle X\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,}$

${\displaystyle (X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)}$

Зокрема, Ste — симетрична моноїдальна категорія щодо біфунктора ${\displaystyle \odot }$, симетрична замкнута моноїдальна категорія щодо біфунктора ${\displaystyle \circledast }$ і внутрішнього hom-функтора ${\displaystyle \oslash }$, і *-автономна категорія^[en]:

${\displaystyle X^{\star }\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\circledast Y)^{\star }\oslash Z,}$

Ядро і коядро в категорії Ste

Оскільки Ste — предабелева категорія, всякий морфізм ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$ в ній має ядро, коядро, образ і кообраз. Ці об'єкти задовольняють наступним природним тотожностям:^[1]

${\displaystyle ({\text{ker}}\varphi )^{\star }={\text{coker}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coker}}\varphi )^{\star }={\text{ker}}(\varphi ^{\star }),}$

${\displaystyle ({\text{im}}\varphi )^{\star }={\text{coim}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coim}}\varphi )^{\star }={\text{im}}(\varphi ^{\star }),}$

${\displaystyle ({\text{Ker}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Im}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{Im}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Ker}}(\varphi ^{\star }),}$

${\displaystyle {\text{Ker}}\varphi =({\text{Im}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle },\qquad {\text{Im}}\varphi =({\text{Ker}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle }.}$

Прямі та зворотні границі в категорії Ste

Справедливі наступні природні тотожності:^[1][3]

${\displaystyle {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \prod _{i\in I}X_{i}^{\star }}$

${\displaystyle {\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}^{\star }}$

${\displaystyle Y\oslash {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\cong \prod _{i\in I}(Y\oslash X_{i})}$

${\displaystyle {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \prod _{j\in J}(Y_{j}\oslash X)}$

${\displaystyle {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\bigoplus _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\cong \bigoplus _{i\in I,j\in J}(X_{i}\circledast Y_{j})}$

${\displaystyle {\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_{i}\odot Y_{j})}$

${\displaystyle {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{\infty \gets i}X_{i}^{\star }}$

${\displaystyle {\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{i\to \infty }X_{i}^{\star }}$

${\displaystyle Y\oslash {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i}(Y\oslash X_{i})}$

${\displaystyle {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \lim _{\infty \gets j}(Y_{j}\oslash X)}$

${\displaystyle {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\lim _{j\to \infty }Y_{j}{\Big )}\cong \lim _{i,j\to \infty }(X_{i}\circledast Y_{j})}$

${\displaystyle {\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i,j}(X_{i}\odot Y_{j})}$

(тут ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }}$ — пряма границя а ${\displaystyle \lim _{\infty \gets i}}$ — обернена границя в категорії Ste).

Перетворення Гротендика

Якщо ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ — стереотипні простори, то для будь-яких елементів ${\displaystyle x\in X}$ і ${\displaystyle y\in Y}$ формула

${\displaystyle (x\circledast y)(\varphi )=\varphi (y)(x),\qquad \varphi \in X^{\star }\oslash Y}$

визначає елементарний тензор ${\displaystyle x\circledast y\in X\circledast Y=(X^{\star }\oslash Y)^{\star }}$, а формула

${\displaystyle (x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,\qquad f\in X^{\star }}$ — елементарний тензор ${\displaystyle x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }}$

Теорема.^[1] Для будь-яких стереотипних просторів ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ існує єдине лінійне неперервне відображення ${\displaystyle \Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y}$, що переводить елементарні тензори ${\displaystyle x\circledast y}$ в елементарні тензори ${\displaystyle x\odot y}$:

${\displaystyle \Gamma _{X,Y}(x\circledast y)=x\odot y,\qquad x\in X,\ y\in Y.}$

Сімейство відображень ${\displaystyle \Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y}$ визначає природне перетворення біфунктора ${\displaystyle \circledast }$ в біфунктор ${\displaystyle \odot }$.

Відображення ${\displaystyle \Gamma _{X,Y}}$ називається перетворенням Гротендика.