Сфера Гілла

Сфера Гілла — простір навколо небесного тіла, в якому його гравітаційний вплив домінує, тобто, визначає орбіти дрібних тіл, попри вплив масивнішого об'єкта, навколо якого обертається саме тіло.
Зазвичай розглядають сфери Гілла для планет у гравітаційному полі Сонця. Однак поняття сфери Гілла можна розповсюдити й на інші космічні системи, наприклад, сфера Гілла Сонця в гравітаційному полі Галактики або сфера Гілла супутника в гравітаційному полі його планети^[1].
Орбіти супутників планети можуть існувати лише всередині її сфери Гілла, а стабільні геліоцентричні орбіти — лише поза сферами Гілла всіх планет^[2]. Сфера Гілла названа на честь американського астронома й математика Джорджа Вільяма Гілла.

Система Сонце — Земля. Сфера Гілла Землі розташована між точками Лагранжа L₁ та L₂.

Тяжіння планети всередині її сфери Гілла не обов'язково сильніше за тяжіння зорі: так, Місяць сильніше притягується Сонцем, ніж Землею.

Сфера Гілла простягається від планети до точки Лагранжа L₁, а в інший бік — приблизно до точки L₂. Її приблизний радіус розраховують за формулою:

${\displaystyle r_{H}=a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3(M+m)}}},}$

де ${\displaystyle a}$ — велика піввісь орбіти планети, ${\displaystyle m}$ — маса планети, ${\displaystyle M}$ — маса зорі^[2].

Розташування орбіти супутника всередині сфери Гілла є необхідною, але не достатньою умовою для стабільності його орбіти. Стабільна орбіта має перебувати в сфері Гілла досить глибоко. Її максимальний радіус становить 0,4–0,5 ${\displaystyle r_{H}}$ для проградних орбіт і 0,7 ${\displaystyle r_{H}}$ — для ретроградних. Іноді для оцінки цієї величини беруть значення ${\displaystyle r_{H}/3}$ (критерій Себехелі (Szebehely))^[3][4].

Термін

Поняття даної сфери вперше було визначено американським астрономом Джорджом Вільямом Гіллом на основі праць французького астронома Едуарда Роша. У зв'язку з цим в англомовній літературі на означення цієї сфери також вживається термін «сфера Роша» (англ. Roche sphere), що іноді призводить до певної плутанини зі схожими термінами: порожнина Роша (англ. Roche lobe) і межа Роша (англ. Roche limit).

Регіони стабльності

Сфера Гілла є лише наближеним описом стабільної області навколо небесного тіла. На орбіту можуть впливати й інші сили, наприклад радіаційний тиск чи ефект Ярковського, що з часом здатні виштовхнути об’єкт за її межі. Для коректності цієї моделі супутник має бути настільки малим, щоб його власна гравітація практично не впливала на систему ^[5]

Зона стабільних ретроградних орбіт на великих відстанях від центру тяжіння ширша, ніж для проградних орбіт. Це колись пояснювали тим, чому у Юпітера так багато ретроградних супутників ^[6]

У системі з двома планетами для стійкості їхня взаємна сфера Гілла має перевищувати значення

. У системах з трьома і більше планетами, якщо різниця їх великих півосей менша за десятикратний взаємний радіус Гілла, така конфігурація завжди нестабільна — збурення від третього тіла призводять до втрати кутового моменту і руйнування орбітальної системи.

Сфери Гілла в Сонячній системі

У наведеному нижче логарифмічному графіку показано радіуси сфер Гілла деяких тіл Сонячної системи, обчислені за формулою з урахуванням ексцентриситету орбіти

${\displaystyle R_{\rm {H}}\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}\!}$

Логарифмічний графік радіусів Гілла (у км) для тіл Сонячної системи

з використанням даних ефемерид JPL DE405 та сайту NASA Solar System Exploration ^[7].