Сферичний сегмент

Сфери́чний сегме́нт (англ. spherical cap — букв. «сферична чаша») — поверхня у вигляді частини сфери, що відтинається від неї деякою площиною. Площина ділить сферу на два сегменти, менший сегмент також носить назву сферичний круг^[1].

Сферичний сегмент

Якщо площина проходить через центр сфери, то висота обох сегментів дорівнює радіусу сфери s такі сферичні сегменти називають півсферами.

Основні визначення

• Основа сферичного сегмента — це коло радіуса a, утворене при перетині сфери площиною.
• Висота сферичного сегмента (h) — найбільша відстань від січної площини (площини основи) до поверхні сегмента.
• Залежність між радіусом основи і висотою сферичного сегмента має вигляд

${\displaystyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}$.

Площа сферичного сегмента

Площа поверхні сегмента дорівнює

${\displaystyle A=2\pi rh}$

або

${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}$.

Параметри ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle r}$ пов'язані співвідношеннями

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}}$,

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}$.

Підстановка останньої залежності у вираз для обчислення площі дає рівняння

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})}$.

Площа поверхні, обмеженої колами однакових широт

Площа поверхні, обмеженої колами однакових широт (сферичного пояса), є різницею площ поверхні двох відповідних сферичних сегментів. Для сфери радіуса r і широт φ₁ та φ₂ дана площа дорівнює^[2]

${\displaystyle A=2\pi r^{2}\left|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}\right|}$.

Див. також

• Сферичний пояс
• Кульовий сегмент