Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

Це список інтегралів (первісних функцій) обернених гіперболічних функцій. Для повішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів.

У всіх цих формурах під a мається на увазі ненульова константа, C означає сталу інтегрування.

${\displaystyle \int \mathrm {arsinh} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\mathrm {arsinh} \,{\frac {x}{a}}-{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \mathrm {arcosh} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\mathrm {arcosh} \,{\frac {x}{a}}-{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \mathrm {artanh} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\mathrm {artanh} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln |a^{2}-x^{2}|+C\qquad {\mbox{(for }}|x|<|a|{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int \mathrm {arcoth} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\mathrm {arcoth} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln |x^{2}-a^{2}|+C\qquad {\mbox{(for }}|x|>|a|{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int \mathrm {arsech} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\mathrm {arsech} \,{\frac {x}{a}}-a\,\mathrm {arctan} \,{\frac {x\,{\sqrt {\frac {a-x}{a+x}}}}{x-a}}+C\qquad {\mbox{(for }}x\in (0,\,a){\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int \mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{a}}+a\,\ln \,{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}{a}}+C\qquad {\mbox{(for }}x\in (0,\,a){\mbox{)}}}$

Джерела

• Двайт Г. Б. Обратные гиперболичесике функции — интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — С. 144-150. (рос.)